LDA
LDA是线性判别分析的英文缩写，该方法旨在通过将多维的特征映射到一维来进行判断类别。映射的方式是将数值化的样本特征与一个同维度的向量做内积，即：
$y=w^Tx$
因此，目标就是找到一个最优的向量，使映射到一维后的不同类别的样本之间“距离”尽可能大，而同类别的样本之间“距离”尽可能小，使分类尽可能准确。
具体来说，就是使映射后类内样本方差尽可能小，类间样本方差尽可能大。也就是（这里为二分类，多分类类似）：
$ begin{align*} &quad minlimits_w left[sumlimits_{xin X_0}(w^Tx-w^Tmu_0)^2+sumlimits_{xin X_1}(w^Tx-w^Tmu_1)^2right]\ &=minlimits_w w^T left[sumlimits_{xin X_0}(x-mu_0)(x-mu_0)^T+sumlimits_{xin X_1}(x-mu_1)(x-mu_1)^Tright]w \ &=minlimits_w w^TS_ww \ end{align*} $
和
$ begin{align*} &quad maxlimits_w left[(w^Tmu_0-frac{w^Tmu_0+w^Tmu_1}{2})^2+(w^Tmu_1-frac{w^Tmu_0+w^Tmu_1}{2})^2right]\ &=maxlimits_w frac{1}{2}w^T(mu_0-mu_1)(mu_0-mu_1)^Tw\ &=maxlimits_w frac{1}{2}w^TS_bw \ end{align*} $
因为自变量只有$w$，所以不一定二者都能达到最优，所以整合到一起取下式的最大值：
$J = displaystyle frac{w^TS_bw}{w^TS_ww}$
也就是：
$ begin{align*} &minlimits_w -w^TS_bw\ &text{s.t.},, w^TS_ww = 1 end{align*} $
因为$S_w$正定，$S_b$半正定，所以使用拉格朗日乘子法，最终得到：
$w = S_w^{-1}(mu_0-mu_1)$
其中$S_w^{-1}$是$S_w$的伪逆。
实验
西瓜数据集
实验用数据集为西瓜数据集：
将数据填入Excel中后，在python中读取，然后使用处理好的数据计算出$w$，最后进行测试。
各个样本点、映射平面以及映射后的样本点如下图所示：
可以看到两类的样本点明显不是线性可分的，因此，不论如何选取一次的线性映射，都不可能将两类样本完全分开。而找到的映射平面将样本映射到一维后（即在右图的Z轴上），依然是很多不同类别的点穿插在一起。
因此，判别训练集的正确率较低：
仅0.7。
线性数据集
为了测试LDA在线性可分特征数据集上的性能，以二维正态分布生成如下样本点：
其中蓝色点均值为$[1,5]$，红色为$[5,1]$；两类样本的协方差矩阵都为：
$left[begin{matrix}1.4&1\1&5\end{matrix}right]$
映射图如下：
判断结果如下：
正确率提高到了0.99，可见LDA在线性可分数据上的性能还是不错的。
实验代码
LDA代码（数据输入data.xlsx中第一个表即可）：
1 #%% 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 import numpy as np 4 import xlrd 5 6 table = xlrd.open_workbook('test.xlsx').sheets()[0]#读取Excel数据 7 data = [] 8 for i in range(1,table.nrows):#假设第一行是表头不读入 9 data.append(table.row_values(i)) 10 class0 = [] 11 class1 = [] 12 #划分正反特征集，编号第一列，类别最后一列，特征在中间 13 for i in data: 14 if i[-1] == 0: 15 class0.append(i[1:-1]) 16 else: 17 class1.append(i[1:-1]) 18 data = np.array(data) #转为数字矩阵 19 class0 = np.array(class0) #特征都是行向量，组成矩阵 20 class1 = np.array(class1) 21 22 # %% 23 #计算相应类别特征的平均 24 n0 = len(class0) 25 n1 = len(class1) 26 miu0 = np.dot(np.ones([1,n0]),class0)/n0 27 miu1 = np.dot(np.ones([1,n1]),class1)/n1 28 29 #%% 30 #计算类内散度矩阵 31 s0 = class0 - miu0 32 s1 = class1 - miu1 33 Sw = np.dot(s0.transpose(),s0)+np.dot(s1.transpose(),s1) 34 W = np.dot(np.linalg.pinv(Sw),(miu0-miu1).transpose()) #计算W 35 #输出W、miu0和miu1在映射后的值 36 miu0_LDA = np.dot(miu0,W) 37 miu1_LDA = np.dot(miu1,W) 38 print("变换向量W：") 39 print(W) 40 print("0类的LDA均值："+str(miu0_LDA[0,0])) 41 print("1类的LDA均值："+str(miu1_LDA[0,0])) 42 43 #%% 44 #判断类别 45 c_discrim = np.dot(data[:,1:-1],W) 46 #统计正确率 47 right = 0 48 for i in range(len(data)): 49 if np.abs(miu0_LDA[0,0] - c_discrim[i]) < np.abs(miu1_LDA[0,0] - c_discrim[i]): 50 if data[i][-1] == 0: 51 right +=1 52 else: 53 if data[i][-1] == 1: 54 right +=1 55 print("正确率："+str(right / len(data))) 56 57 #%% 58 #画图(仅适用于二维特征) 59 ##################图一 60 fig = plt.figure() 61 ax = fig.add_subplot(121,projection = '3d') 62 plt.xlabel("Feature 1") 63 plt.ylabel("Feature 2") 64 ax.plot(class0[:,0],class0[:,1],'o',label = 'Class0',color = "red") #0类 65 ax.plot([miu0[0,0]],[miu0[0,1]],'*',label = 'Class0 average',color = "black",markersize = 10) #0类平均 66 ax.plot(class1[:,0],class1[:,1],'o',label = 'Class1',color = "blue") #1类 67 ax.plot([miu1[0,0]],[miu1[0,1]],'*',label = 'Class1 average',color = "green",markersize = 10) #1类平均 68 #映射平面 69 t = np.linspace(-5,10,10) 70 X,Y = np.meshgrid(t,t) 71 ax.plot_surface(X,Y,X*W[0]+Y*W[1],alpha = 0.5) 72 ax.legend(loc = 'upper left') 73 74 ##################图二 75 ax = fig.add_subplot(122,projection = '3d') 76 plt.xlabel("Feature 1") 77 plt.ylabel("Feature 2") 78 ax.plot(class0[:,0],class0[:,1],np.dot(class0,W)[:,0],'o',label = 'Mapping Class0',color = "red") #0类映射 79 ax.plot([miu0[0,0]],[miu0[0,1]],np.dot(miu0[0],W),'*',label = 'Mapping class0 average',color = "black",markersize = 10) #0类平均映射 80 ax.plot(class1[:,0],class1[:,1],np.dot(class1,W)[:,0],'o',label = 'Mapping Class1',color = "blue") #1类映射 81 ax.plot([miu1[0,0]],[miu1[0,1]],np.dot(miu1[0],W),'*',label = 'Mapping class1 average',color = "green",markersize = 10) #1类平均映射 82 ax.plot(np.zeros([len(class0)]),np.zeros([len(class0)]),np.dot(class0,W)[:,0],'o',color = "red",alpha = 0.5) #0类映射值 83 ax.plot(np.zeros([len(class1)]),np.zeros([len(class1)]),np.dot(class1,W)[:,0],'o',color = "blue",alpha = 0.5) #1类映射值 84 ax.plot([np.zeros([1])],np.zeros([1]),np.dot(miu0[0],W),'*',color = "black",alpha = 0.5,markersize = 10) #0类平均映射值 85 ax.plot([np.zeros([1])],np.zeros([1]),np.dot(miu1[0],W),'*',color = "green",alpha = 0.5,markersize = 10) #1类平均映射值 86 #映射平面 87 X,Y = np.meshgrid(t,t) 88 ax.plot_surface(X,Y,X*W[0]+Y*W[1],alpha = 0.5) 89 ax.legend(loc = 'upper left') 90 91 plt.show()
生成线性数据集代码：
1 import openpyxl 2 import numpy as np 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 5 sampleNum = 200 6 7 # 二维正态分布 8 mu = np.array([[1, 5]]) 9 Sigma = np.array([[1.4, 1], [1, 5]]) 10 s1 = np.dot(np.random.randn(sampleNum, 2), Sigma) + mu 11 plt.plot(s1[:,0],s1[:,1],'+',color='blue') 12 13 mu = np.array([[5, 1]]) 14 Sigma = np.array([[1.4, 1], [1, 5]]) 15 s2 = np.dot(np.random.randn(sampleNum, 2), Sigma) + mu 16 plt.plot(s2[:,0],s2[:,1],'+',color='red') 17 plt.xlabel('Feature1') 18 plt.ylabel('Feature2') 19 20 plt.show() 21 data = openpyxl.Workbook() 22 table = data.create_sheet('test') 23 table.cell(1,1,'id') 24 table.cell(1,2,'feature1') 25 table.cell(1,3,'feature2') 26 table.cell(1,4,'class') 27 for i in range(sampleNum): 28 table.cell(i+2,1,i+1) 29 table.cell(i+2,2,s1[i][0]) 30 table.cell(i+2,3,s1[i][1]) 31 table.cell(i+2,4,0) 32 for i in range(sampleNum): 33 table.cell(i+1+sampleNum,1,i+1) 34 table.cell(i+1+sampleNum,2,s2[i][0]) 35 table.cell(i+1+sampleNum,3,s2[i][1]) 36 table.cell(i+1+sampleNum,4,1) 37 data.remove(data['Sheet']) 38 data.save('test.xlsx')
文章来源: 博客园
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