越学越懵了,计算机中是怎么进行采样的,用了这么久的 rand() 函数,到现在才知道是怎么做的。

从均匀分布中采样

  计算机中通过 线性同余发生器(linear congruential generator,LCG)很容易从一个 $ x sim Uniform[0, 1)$ 的均匀分布中进行采样。如果要从 (y sim Uniform[a, b)) 的均匀分布中采样,只需要 (x) 的基础上做个变换 (y = (b-a)x + a) 即可。

  当然除了 LCG 外,还有其它均匀分布随机数生成方法,这里不一一列举,可以参考博客随机数生成(一):均匀分布

  单独把均匀分布采样摘出来是因为它很基础,很多其它采样方法都是在该基础上进行操作。

对离散型变量采样

  我们现在通过某种方法(比如 LCG)可以生成均匀分布的随机数,这个时候我们就完全可以对某个含有有限个离散取值的变量 (r) 进行采样,方法就是采用轮盘赌选择法。

  假设离散型变量 (r) 有 3 个取值,(a_1, a_2, a_3),概率分布如下图所示:



图 1 离散型变量 (r) 概率分布

  所有取值概率之和为 1。此时我们可以从 (Uniform[0, 1)) 生成一个随机数 (b),若 (0 le b < 0.6),则选择出 (a_1);若 (0.6 le b < 0.7),则选择出 (a_2);若 (0.7 le b < 1),则选择出 (a_3)

对连续型变量采样

  上面我们已经讨论了从均匀分布 (U[a,b)) 中采样,对于其余分布,如高斯分布、gamma 分布、指数分布、t 分布、F 分布、Beta 分布、Dirichlet 分布等等,都可以基于 (U[0,1)) 的样本生成。例如高斯分布可以通过 Box-Muller 变换得到:

【Box-Muller 变换】如果随机变量 (U_1,U_2) 独立且 (U_1,U_2 sim Uniform[0, 1])
[ begin{aligned} Z_0 = sqrt{-2ln U_1} cos (2 pi U_2) \ Z_1 = sqrt{-2ln U_1} sin (2 pi U_2) end{aligned} ]

(Z_0, Z_1) 独立且服从标准正态分布。

  想要得到服从 (Z_2 sim N(mu, sigma^2)) 的高斯分布,则只需对 (Z_0 sim N(0, 1)) 做如下变换:
[ Z_2 = sigma Z_0 + mu ]

  对于更加一般分布 (p(x)),如下图所示,我们该如何对其进行采样呢?



图 2 分布 (p(x))

  这个时候我们可以使用 rejection sampling。

  Rejection sampling 首先寻找一个简单的分布 (q(x)),然后乘以一个常数 (M),使其满足 (p(x) le M cdot q(x)),如下图所示,(q(x)) 是一个高斯分布,(M = 2)



图 2 分布 (p(x)) 和 分布 2q(x)

  在找到一个分布 (2q(x)) 能完全“覆盖”分布 (p(x)) 后,我们任意 sample 一个样本点 (x_i),但此时,我们将以 (frac{p(x_i)}{2q(x_i)}) 的概率选择去接收这个样本,以 ((1 - frac{p(x_i)}{2q(x_i)})) 的概率选择去拒绝该样本。rejection sampling 平均会接收 (frac{1}{M}) 个样本点。

  rejection sampling 优点:使用 rejection sampling 可以对大多数分布进行采样,即使这些“分布”没有进行归一化。

  rejection sampling 缺点:当 (p(x))(2q(x)) 相差太多时,rejection sampling 将拒绝大多数样本点;其次,对于高维数据,常数 (M) 会很大,简单使用 rejection sampling 所需要的样本量随空间维数增加而指数增长,即高维情况下不适合用 rejection sampling,此时 MCMC(Markov Chains Monte Carlo)和 Gibbs sampling 才是主流。(当然 MCMC 等既能处理离散情况也能处理连续情况。)

References

线性同余发生器 -- 百度百科
随机数生成(一):均匀分布 -- MoussaTintin
LDA-math-MCMC 和 Gibbs Sampling -- 靳志辉
MCMC(一)蒙特卡罗方法 -- 刘建平Pinard
Bayesian Methods for Machine Learning: Sampling from 1-d distributions

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