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权重初始化最佳实践

书接上回，全0、常数、过大、过小的权重初始化都是不好的，那我们需要什么样的初始化？

• 因为对权重(w)的大小和正负缺乏先验，所以应初始化在0附近，但不能为全0或常数，所以要有一定的随机性，即数学期望(E(w)=0)；

• 因为梯度消失和梯度爆炸，权重不易过大或过小，所以要对权重的方差(Var(w))有所控制；

• 深度神经网络的多层结构中，每个激活层的输出对后面的层而言都是输入，所以我们希望不同激活层输出的方差相同，即(Var(a^{[l]})=Var(a^{[l-1]}))，这也就意味不同激活层输入的方差相同，即(Var(z^{[l]})=Var(z^{[l-1]}))；

• 如果忽略激活函数，前向传播和反向传播可以看成是权重矩阵（转置）的连续相乘。数值太大，前向时可能陷入饱和区，反向时可能梯度爆炸，数值太小，反向时可能梯度消失。所以初始化时，权重的数值范围（方差）应考虑到前向和后向两个过程；

权重的随机初始化过程可以看成是从某个概率分布随机采样的过程，常用的分布有高斯分布、均匀分布等，对权重期望和方差的控制可转化为概率分布的参数控制，权重初始化问题也就变成了概率分布的参数设置问题。

在上回中，我们知道反向传播过程同时受到权重矩阵和激活函数的影响，那么，在激活函数不同以及每层超参数配置不同（输入输出数量）的情况下，权重初始化该做怎样的适配？这里，将各家的研究成果汇总如下，

其中，扇入(fan_in)和扇出(fan_out)分别为当前全连接层的输入和输出数量，更准确地说，1个输出神经元与(fan_in)个输入神经元有连接(the number of connections feeding into the node)，1个输入神经元与(fan_out)个输出神经元有连接(the number of connections flowing out of the node)，如下图所示（来自链接），

对于卷积层而言，其权重为(n)个(ctimes h times w)大小的卷积核，则一个输出神经元与(ctimes h times w)个输入神经元有连接，即(fan_in = ctimes h times w)，一个输入神经元与(ntimes h times w)个输出神经元有连接，即(fan_out=ntimes h times w)。

期望与方差的相关性质

接下来，首先回顾一下期望与方差计算的相关性质。

对于随机变量(X)，其方差可通过下式计算，
[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 ]
若两个随机变量(X)和(Y)，它们相互独立，则其协方差为0，
[ Cov(X, Y) = 0 ]
进一步可得(E(XY)=E(X)E(Y))，推导如下，
[ begin{align} Cov(X, Y) &= E((X-E(X))(Y-E(Y))) \ &= E(XY)-E(X)E(Y) =0 end{align} ]
两个独立随机变量和的方差，
[ begin{aligned} operatorname{Var}(X+Y) &=Eleft((X+Y)^{2}right)-(E(X+Y))^{2} \ &=Eleft(X^{2}+Y^{2}+2 X Yright)-(E(X)+E(Y))^{2} \ &=left(Eleft(X^{2}right)+Eleft(Y^{2}right)+2 E(X Y)right)-left((E(X))^{2}+(E(Y))^{2}+2 E(X) E(Y)right) \ &=left(Eleft(X^{2}right)+Eleft(Y^{2}right)+2 E(X) E(Y)right)-left((E(X))^{2}+(E(Y))^{2}+2 E(X) E(Y)right) \ &=Eleft(X^{2}right)-(E(X))^{2}+Eleft(Y^{2}right)-(E(Y))^{2} \ &=operatorname{Var}(X)+operatorname{Var}(Y) end{aligned} ]
两个独立随机变量积的方差，
[ begin{aligned} operatorname{Var}(X Y) &=Eleft((X Y)^{2}right)-(E(X Y))^{2} \ &=Eleft(X^{2}right) Eleft(Y^{2}right)-(E(X) E(Y))^{2} \ &=left(operatorname{Var}(X)+(E(X))^{2}right)left(operatorname{Var}(Y)+(E(Y))^{2}right)-(E(X))^{2}(E(Y))^{2} \ &=operatorname{Var}(X) operatorname{Var}(Y)+(E(X))^{2} operatorname{Var}(Y)+operatorname{Var}(X)(E(Y))^{2} end{aligned} ]

全连接层方差分析

对线性组合层+非线性激活层，计算如下所示，其中(z_i^{[l-1]})为(l-1)层第(i)个激活函数的输入，(a_i^{[l-1]})为其输出，(w_{ij}^{[l]})为第(l)层第(i)个输出神经元与第(j)个输入神经元连接的权重，(b^{[l]})为偏置，计算方式如下
[ begin{align}a_i^{[l-1]} &= f(z_i^{[l-1]}) \z_i^{[l]} &= sum_{j=1}^{fan_in} w_{ij}^{[l]} a_j^{[l-1]}+b^{[l]} \a_i^{[l]} &= f(z_i^{[l]})end{align} ]
在初始化阶段，将每个权重以及每个输入视为随机变量，可做如下假设和推断，

• 网络输入的每个元素(x_1, x_2, dots)为独立同分布；
• 每层的权重随机初始化，同层的权重$w_{i1}, w_{i2}, dots (**独立同分布**，且期望)E(w)=0$；
• 每层的权重(w)和输入(a)随机初始化且相互独立，所以两者之积构成的随机变量(w_{i1}a_1, w_{i2}a_2, dots)亦相互独立，且同分布；
• 根据上面的计算公式，同层的(z_1, z_2, dots)为独立同分布，同层的(a_1, a_2, dots)也为独立同分布；

需要注意的是，上面独立同分布的假设仅在初始化阶段成立，当网络开始训练，根据反向传播公式，权重更新后不再相互独立。

在初始化阶段，输入(a)与输出(z)方差间的关系如下，令(b=0)，
[ begin{align} Var(z) &=Var(sum_{j=1}^{fan_in} w_{ij} a_j) \ &= fan_in times (Var(wa)) \ &= fan_in times (Var(w) Var(a) + E(w)^2 Var(a) + Var(w) E(a)^2) \ &= fan_in times (Var(w) Var(a) + Var(w) E(a)^2) end{align} ]

tanh下的初始化方法

若激活函数为线性恒等映射，即(f(x)=x)，则(a = z)，自然(E(a)=E(z))，(Var(a) = Var(z))。

因为网络输入的期望(E(x)=0)，每层权重的期望(E(w) = 0)，在前面相互独立的假设下，根据公式(E(XY)=E(X)E(Y))，可知(E(a)=E(z)=sum E(wa)=sum E(w)E(a)=0)。由此可得，
[ Var(a^{[l]}) = Var(z^{[l]}) = fan_in times Var(w) times Var(a^{[l-1]}) ]
更进一步地，令(n^{[l]})为第(l)层的输出数量（(fan_out)），则第(l)层的输入数量（$fan_in (）即前一层的输出数量为)n^{[l-1]}(。第)L$层输出的方差为
[ begin{align} Var(a^{L}) = Var(z^{[L]}) &= n^{[L-1]} Var(w^{[L]}) Var(a^{[L-1]}) \ &=left[prod_{l=1}^{L} n^{[l-1]} Var(w^{[l]})right] {Var}(x) end{align} ]
反向传播时，需要将上式中的(n^{[l-1]})替换为(n^{[l]})（即(fan_in)替换为(fan_out)），同时将(x)替换为损失函数对网络输出的偏导。

所以，经过(t)层，前向传播和反向传播的方差，将分别放大或缩小
[ prod^{t} n^{[l-1]} Var(w^{[l]}) \ prod^{t} n^{[l]} Var(w^{[l]}) ]
为了避免梯度消失和梯度爆炸，最好保持这个系数为1。

需要注意的是，上面的结论是在激活函数为恒等映射的条件下得出的，而tanh激活函数在0附近可近似为恒等映射，即$tanh(x) approx x $。

Lecun 1998

Lecun 1998年的paper Efficient BackProp ，在输入Standardization以及采用tanh激活函数的情况下，令(n^{[l-1]}Var(w^{[l]})=1)，即在初始化阶段让前向传播过程每层方差保持不变，权重从如下高斯分布采样，其中第(l)层的(fan_in = n^{[l-1]})，
[ W sim N(0, frac{1}{fan_in}) ]

Xavier 2010

在paper Xavier-2010-Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks中，Xavier和Bengio同时考虑了前向过程和反向过程，使用(fan_in)和(fan_out)的平均数对方差进行归一化，权重从如下高斯分布中采样，
[ W sim N(0, frac{2}{fan_in + fan_out}) ]
同时文章中还提及了从均匀分布中初始化的方法，因为均匀分布的方差与分布范围的关系为
[ Var(U(-n, n)) = frac{n^2}{3} ]
若令(Var(U(-n, n)) = frac{2}{fan_in + fan_out})，则有
[ n = frac{sqrt{6}}{sqrt{fan_in + fan_out}} ]
即权重也可从如下均匀分布中采样，
[ W sim U(-frac{sqrt{6}}{sqrt{fan_in + fan_out}}, frac{sqrt{6}}{sqrt{fan_in + fan_out}}) ]
在使用不同激活函数的情况下，是否使用Xavier初始化方法对test error的影响如下所示，图例中带(N)的表示使用Xavier初始化方法，Softsign一种为类tanh但是改善了饱和区的激活函数，图中可以明显看到tanh 和tanh N在test error上的差异。

论文还有更多训练过程中的权重和梯度对比图示，这里不再贴出，具体可以参见论文。

ReLU/PReLU下的初始化方法

搬运一下上面的公式，
[ Var(z)= fan_in times (Var(w) Var(a) + Var(w) E(a)^2) ]
因为激活函数tanh在0附近可近似为恒等映射，所以在初始化阶段可以认为(E(a) = 0)，但是对于ReLU激活函数，其输出均大于等于0，不存在负数，所以(E(a) = 0)的假设不再成立。

但是，我们可以进一步推导得到，
[ begin{align} Var(z) &= fan_in times (Var(w) Var(a) + Var(w) E(a)^2) \ &= fan_in times (Var(w) (E(a^2) - E(a)^2)+Var(w)E(a)^2) \ &= fan_in times Var(w) times E(a^2) end{align} ]

He 2015 for ReLU

对于某个具体的层(l)则有，
[ Var(z^{[l]}) = fan_in times Var(w^{[l]}) times E((a^{[l-1]})^2) ]
如果假定(w{[l-1]})来自某个关于原点对称的分布，因为(E(w^{[l-1]}) = 0)，且(b^{[l-1]} = 0)，则可以认为(z^{[l-1]})分布的期望为0，且关于原点0对称。

对于一个关于原点0对称的分布，经过ReLU后，仅保留大于0的部分，则有
[ begin{align}Var(x) &= int_{-infty}^{+infty}(x-0)^2 p(x) dx \&= 2 int_{0}^{+infty}x^2 p(x) dx \&= 2 E(max(0, x)^2)end{align} ]
所以，上式可进一步得出，
[ begin {align}Var(z^{[l]}) &= fan_in times Var(w^{[l]}) times E((a^{[l-1]})^2) \&= frac{1}{2} times fan_in times Var(w^{[l]}) times Var(z^{[l-1]}) end{align} ]
类似地，需要放缩系数为1，即
[ frac{1}{2} times fan_in times Var(w^{[l]}) = 1 \ Var(w) = frac{2}{fan_in} ]
即从前向传播考虑，每层的权重初始化为
[ W sim N(0, frac{2}{fan_in}) ]
同理，从后向传播考虑，每层的权重初始化为
[ W sim N(0, frac{2}{fan_out}) ]
文中提到，单独使用上面两个中的哪一个都可以，因为当网络结构确定之后，两者对方差的放缩系数之比为常数，即每层扇入扇出之比的连乘，解释如下，

使用Xavier和He初始化，在激活函数为ReLU的情况下，test error下降对比如下，22层的网络，He的初始化下降更快，30层的网络，Xavier不下降，但是He正常下降。

He 2015 for PReLU

对于PReLU激活函数，负向部分为(f(x) = ax)，如下右所示，

对于PReLU，求取(E((a^{[l-1]})^2))可对正向和负向部分分别积分，不难得出，
[ frac{1}{2} (1 + a^2) times fan_in times Var(w^{[l]}) = 1 \Var(w) = frac{2}{(1 + a^2) fan_in} \W sim N(0, frac{2}{(1 + a^2) fan_in}) \W sim N(0, frac{2}{(1 + a^2) fan_out}) ]

caffe中的实现

尽管He在paper中说单独使用(fan_in)或(fan_out)哪个都可以，但是，在Caffe的实现中，还是提供了两者平均值的方式，如下所示，当然默认是使用(fan_in)。

小结

至此，对深度神经网络权重初始化方法的介绍已告一段落。虽然因为BN层的提出，权重初始化可能已不再那么紧要。但是，对经典权重初始化方法经过一番剖析后，相信对神经网络运行机制的理解也会更加深刻。

以上。

参考

• cs231n-Neural Networks Part 2: Setting up the Data and the Loss
• paper-Efficient BackProp
• paper-Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks
• paper-Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification
• wiki-Variance
• Initializing neural networks
• Weight Initialization in Neural Networks: A Journey From the Basics to Kaiming
• Kaiming He initialization
• Choosing Weights: Small Changes, Big Differences
• Understand Kaiming Initialization and Implementation Detail in PyTorch

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