数据标准化

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作者:分析101

1 为何需要标准化

有的数据，不同维度的数量级差别较大，导致有的维度会主导整个分析过程。如下图所示：

该图的数据维度(d=30)，样本量(n=40)，上面的图是对原始数据做PCA后，第一个PC在各个维度上的权重的平行坐标图，下面的图则是对数据做标准化之后的情况。可以发现，在原始数据中，第(4)和(24)个维度的权重非常大。如果其他的维度也包含了重要的信息，而我们只取第一个PC做研究，可能就会造成信息损失。

2 如何标准化

那该如何预处理数据？一般而言有两种处理方法。

2.1 Scale

常见的一种方法就是对数据做scale，如我们知道数据的总体为(xsim (mu,Sigma))，那么可以将(Sigma)的对角线元素单独取出做成一个对角矩阵(Sigma_text{diag})，然后定义

[x_text{scale}=Sigma_text{diag}^{-1/2}(x-mu) ]

这样做的好处显而易见，在做完scale后，我们有

[text{Var}(x_text{scale}) = Sigma_text{diag}^{-1/2}SigmaSigma_text{diag}^{-1/2}=R ]

这里的(R)就是(x)的各维度的相关系数矩阵。

对于样本数据(Xsim text{Sample}(bar x, S))来说，也可做同样的处理：

[X_text{scale}=S_text{diag}^{-1/2}(X-bar xell_n') ]

同样地，在经过scale后，样本数据的协方差矩阵也变成了相关系数矩阵(R_S=S_text{diag}^{-1/2}SS_text{diag}^{-1/2})。

2.2 Sphere

另一种预处理数据的方法是将数据“球形化”（sphere）。即对于总体数据(x)，可以做

[x_{Sigma}=Sigma^{-1/2}(x-mu) ]

对于样本数据(X)，也同样可以做

[X_S=S^{-1/2}(X-bar xell_n') ]

这样做会有什么效果？显然，处理后的协方差矩阵会变为

[text{Var}(x_{Sigma}) = Sigma^{-1/2}SigmaSigma^{-1/2}=I_d ]

即我们把各维度之间的相关性也处理掉了。

如果(text{rank}(Sigma)=rlt d)，(Sigma^{-1/2})就不存在，此时可以用

[x_{Sigma}=Gamma_r Lambda_r^{-1/2} Gamma_r'(x-mu) ]

对于样本数据也类似。

3 何时需要标准化？

对于这个问题，没有定论。因为数据标准化不影响理论结果。一般来说，如果各个维度是可比的，就不需要标准化，如果不可比，并且我们对量级非常大的数据没有特别的研究偏好，那就需要做标准化。

参考文献

Koch, Inge. Analysis of multivariate and high-dimensional data. Cambridge University Press, 2013.

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文章来源: 博客园

原文链接: https://www.cnblogs.com/analysis101/p/14778218.html

标签： AI 人工智能

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