模型
生成模型介绍
我们定义样本空间为(mathcal{X} subseteq mathbb{R}^n)，输出空间为(mathcal{Y} = {c_1, c_2, ..., c_K})。(textbf{X})为输入空间上的随机向量，其取值为(textbf{x})，满足(textbf{x} in mathcal{X})；(Y)为输出空间上的随机变量，设其取值为(y)，满足(y in mathcal{Y})。我们将容量为(m)的训练样本表示为:
我们遵循机器学习的一个基本假设，即训练样本是从一个未知的总体分布(P(textbf{X} = textbf{x}, Y=y))中采样产生，且训练样本独立同分布。
我们采取概率模型的视角，即将分类模型表示为条件概率分布(P(Y=y|textbf{X}=textbf{x}))。而依据分布(P(Y=y|textbf{X}=textbf{x}))的求解可将模型分为判别模型和生成模型。判别模型直接对条件概率分布(P(Y=y|textbf{X}=textbf{x}))进行参数估计(估计方法可采用极大似然估计或贝叶斯估计)；而生成模型则利用条件概率公式(P(Y=y|textbf{X}=textbf{x}) = frac{P(textbf{X}=textbf{x}, Y=y)}{P(textbf{X}=textbf{x})})来计算分布。分子(P(textbf{X}=textbf{x}, Y=y))是一个联合概率分布，能够还原出联合概率分布(P(textbf{X}=textbf{x}, Y=y))是生成模型的一大特性。
朴素贝叶斯模型推导
我们对分子继续运用条件概率公式，进一步得到
这个公式即大名鼎鼎的贝叶斯公式。 这里我们采用贝叶斯学派的视角，将(P(Y=y))称为先验概率分布，表示在数据观测之前对(Y)的信念；(P(Y = y|textbf{X}=textbf{x}))称为后验概率分布，表示经过观测数据(textbf{X})(也称“证据”)校正后对(Y)的信念。注意不要和和贝叶斯估计中参数(theta)的先验和后验分布搞混了，贝叶斯估计也应用了贝叶斯公式，但先验概率分布和后验概率分布的实际含义与这里完全不同。
我们再将分母运用全概率公式展开，我们得到
这意味着我们只需要学习概率分布(P(Y=y))和(P(textbf{X}=textbf{x}|Y=y))，而无需关心(P(textbf{X}=textbf{x}))。
将随机向量(textbf{x})沿着其特征维度展开，我们继续得到
这里我们为了简单起见，假设样本属性是离散的，(x_j)的属性集为(A_j={a_1, a_2,..., a_{N_j}})，满足(x_j in A_j)。可以看出，条件概率分布(P(textbf{X}=textbf{x}|Y=y))的参数总量是指数级的((x_j)的属性集(A_j)大小为(N_j)，(j=1, 2, ..., n)，(Y)可取值有(K)个，那么参数个数为(K prod_{j=1}^{n}N_j))，不能对其直接进行参数估计。
因此，我们决定对原本拥有指数级参数数量的分布进行拆分。这里，朴素贝叶斯法做出了条件独立性假设：样本特征在类确定的条件下条件独立(这也是“朴素”(Naive)一词的得名)。这样我们就能将原本拥有庞大参数的概率分布进行拆分：
这样，我们就可以对(P(textbf{X} | Y=y))分布进行高效的参数估计。之后，我们对于输入样本(textbf{x})，计算概率分布(P(Y=y|textbf{X}=textbf{x}))：
我们采取后验概率最大化原则(即最终的输出分类取使条件概率最大的那个)，设(f(textbf{x}))为分类决策函数，即
我们发现，不管(y)取何值，式((7))中分母总是恒定的，因此我们可以将式((7))化简为
这就是朴素贝叶斯模型分类决策函数的最终表达式。
参数估计
极大似然估计
如式((8))中所述，我们需要对先验概率分布(P(Y=y))和条件概率分布(P(X_j = x_j|Y=y))进行参数估计。根据极大似然估计(具体的推导过程可以参见李航《统计学习方法》中的习题解答)，我们可以运用训练集(D)将先验概率分布(P(Y=y))估计为
同样，条件概率分布(P(X_j = x_j|Y=y))的估计为
贝叶斯估计(平滑修正)
观察式((10))可知，如果训练集中属性值(x_j)和类(y)没有同时出现过，即(P(X_j=x_j, Y=y)=0)，那么(P(X_j = x_j | Y=y)=0)会直接导致连乘式。这就意味着不管其他属性如何，哪怕其他属性明显符合要求，样本(prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)=0) ，(textbf{x})属于类(y)的概率都会被判为0，这明显不太合理。
因此，为了避免其他属性携带的信息被训练集中未出现的属性值“抹去”，我们采用贝叶斯估计，等价于在估计概率值时通常进行“平滑”(smoothing)(具体的推导过程可以参见李航《统计学习方法》中的习题解答)。即令式((10))修正为
我们常取(lambda=1)，这时称为拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing)。
类似地，式((9))中先验概率被修正为：
可以看出，拉普拉斯平滑解决了训练集样本数不足导致的概率值为 0 的问题。拉普拉斯修正实际上假设了属性值与类别均匀分布，这是在参数估计的过程中额外引入的关于数据的先验 (prior)。当样本容量趋近于无穷时，我们发现修正过程所引入的先验的影响也趋近于 0，使得计算的概率值趋近于实际的概率值。
算法
在实际的应用中，朴素贝叶斯模型有两种训练方式。
若使用的场景对模型的预测速度要求较高，在给定训练集(D)的情况下，我们将概率分布(P_lambda(Y=y))和概率分布(P_{lambda}(X_j = x_j|Y=y))所有可能的取值((yin mathcal{Y})，(x_j in A_j)，(A_j)为样本属性取值集合)都计算出来存好，然后在测试样本(textbf{x}^{*})来了之后，通过“查表”的方式将对应的概率值检索出来，然后再对其类别进行判别。这样，我们计算概率分布(P_lambda(Y=y))和概率分布(P_{lambda}(X_j = x_j|Y=y))所有可能取值的过程即对朴素贝叶斯模型进行显式训练的过程。训练算法如下：
然后，在对给定输入样本(x^{*})进行判别时，按照下式进行判别：
如果我们不断有新的训练数据产生，可以采用“懒惰学习”(lazy learning)的方法，先不进行任何训练，测试样本来了之后再依照测试样本的属性(x_j^{*})和当前数据集的状况来计算单点概率，这样可以避免对所有可能的属性都计算单点概率。若训练数据不断增加，则可在现有计算结果的基础上，仅仅对新增样本的属性值所涉及的单点概率进行计数修正，这样可以实现“增量学习”。
文章来源: 博客园
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