最基本的SVM（Support Vector Machine）旨在使用一个超平面，分离线性可分的二类样本，其中正反两类分别在超平面的一侧。SVM算法则是要找出一个最优的超平面。

线性可分SVM

优化函数定义

　　给定一个特征空间线性可分的数据集：

$T = {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)}$

　　特征分布类似下图：

　　如上图，当特征空间为二维时，超平面就是比二维空间第一维度的直线。任意维超平面定义如下（其中$x$是$n$维特征向量，$w,b$是超平面系数）：

$wx+b = 0$

　　对于正例应有$wx_i+b > 0$，反例应有$wx_i+b < 0$，也就是说，如果分类正确，应有：

$y_i(wx_i+b)> 0$

　　从直观上看，最优超平面，应该是在将所有样本都正确分类的基础上，使与之距离最近的样本点的距离最大化。点到面的距离公式中学学过

$displaystyle frac{|wx+b|}{|| w ||}$

　　综上，优化的问题用数学方式表达：

$displaystylemaxlimits_{w,b}minlimits_{i}(frac{y_i(wx_i+b)}{||w||})$

　　或者

$begin{align*} &maxlimits_{w,b};gamma \ &;text{s.t.};;;y_i(frac{w}{||w||}x_i+frac{b}{||w||})ge gamma,;;i=1,2,...,N end{align*}$

　　其中$gamma$为最小距离。令$ hat{gamma}=gamma||w|| $，即所谓“函数距离”，上式可变为：

$begin{align*} &maxlimits_{w,b};frac{hat{gamma}}{||w||} \ &;text{s.t.};;;y_i(wx_i+{b})ge hat{gamma },;;i=1,2,...,Nend{align*}$

　　$hat{gamma}$没有被$||w||$规范化，因此大小与$||w||$有关。而$w,b$等比例变化时，超平面并没有变。因此，可以固定$||w||=1$，最大化$hat{gamma}$，即：

$begin{align*} &maxlimits_{w,b};hat{gamma}\ &;text{s.t.};;;y_i(wx_i+{b})ge hat{gamma },;;i=1,2,...,Nend{align*}$ 

　　或者固定$hat{gamma}=1$，最小化$||w||$，也就是：

$begin{align*} &minlimits_{w,b};frac{1}{2}||w||^2 \ &;text{s.t.};;;y_i(wx_i+{b})ge 1,;;i=1,2,...,Nend{align*}$

　　通常是最小化$||w||$。这是一个凸二次规划问题，即待优化的函数$frac{1}{2}||w||^2$是二次函数，不等式约束条件$1-y_i(wx_i+{b})le 0$为可微凸函数（注意！小于等于0要求凸函数，如果大于等于0就要求是凹函数了）。

对偶算法

　　上述带约束优化满足原始问题最优值与对偶问题最优值取等的条件，因此可以使用拉格朗日对偶性（点击链接）将原始优化问题转换为其对偶问题求解。原始问题的拉格朗日函数为：

$displaystyle begin{gather}L(w,b,alpha) = frac{1}{2}||w||^2- sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i(wx_i+b)+sumlimits_{i=1}^{N}alpha_i,,,alphage 0  label{}end{gather}$

　　因此原始问题为：

$displaystyle begin{gather} minlimits_{w,b}maxlimits_{alphage 0 }L(w,b,alpha)  label{}end{gather}$

　　则对偶问题为：

$displaystyle begin{gather}maxlimits_{alphage 0 } minlimits_{w,b}L(w,b,alpha)  label{}end{gather}$

　　由KKT条件1式令梯度为0，计算对偶问题内部的$min$函数

$begin{aligned} &nabla_wL(w,b,alpha) = w-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_ix_i=0 \ &nabla_bL(w,b,alpha) = -sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i=0 \ end{aligned}$

　　得

$begin{gather} &w = sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_ix_i \ &sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i=0 label{}end{gather}$

　　代入$(3)$式，经过计算，对偶问题变为：

$begin{gather} begin{array}{lcl} minlimits_{alpha}displaystylefrac{1}{2}sumlimits_{i=1}^{N}sumlimits_{j=1}^{N}alpha_ialpha_jy_iy_j(x_ix_j)-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_i \ begin{aligned} text{s.t.};&sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i=0\ &alpha_ige 0,i = 1,2,...,N end{aligned} end{array} end{gather}$

　　这样，只需先优化对偶问题，计算出最优的$alpha^*$，再代入$(4)$式即可算出最优$w^*$。对于$b$，因为至少有一个$alpha_j^*>0$（如果全都为0，由$(4)$式有$w=0$，不符合约束），对应KKT条件2式

$alpha_i(y_i(wx_i+b)-1)=0$

　　于是有

$y_j(w^*x_j+b^*)-1=0$

　　实际上这个$x_j$就是与超平面最近的的样本，也就是所谓的支持向量。另外也说明了这个优化问题的解一定在不等式约束的边界上，而不在其内部。于是，提取$b^*$并代入$(4)$式，得：

$begin{gather}displaystyle b^* = y_j-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_i^*y_i(x_ix_j)end{gather}$

　　综上，计算最优$w^*,b^*$的操作就是：先$(6)$式算出$alpha^*$，再代入$(4),(7)$式算出$w^*,b^*$。

　　但是$(6)$实际上并不好算，当样本量一大，$alpha$需要分类讨论的情况数以指数级上升（即每个$alpha$是否为0），后面介绍开销小的算法。

线性SVM

参数计算

　　有时样本会有特异点，不能保证每个样本都满足不等式约束。因此修改上面的“硬间隔最大化”为“软间隔最大化”，则线性可分SVM变为线性SVM。即添加一个松弛变量$xi$，允许原来的不等式约束不一定严格满足，当然在优化函数中也要把这一损失加上，乘上惩罚参数$C$。得到如下最优化问题：

$begin{gather} begin{array}{lcl} minlimits_{w,b,xi};displaystylefrac{1}{2}||w||^2+Csumlimits_{i=1}^{N}xi_i \ begin{aligned} text{s.t.};;;&y_i(wx_i+{b})ge 1-xi_i,;;i=1,2,...,N\ &xi_ige 0,;;i=1,2,...,N\ end{aligned} end{array}end{gather}$

　　显然待优化函数与不等式约束都是凸函数（仿射函数也是凸函数）。因此同样符合KKT条件，可以对偶化计算。拉格朗日函数为：

$ begin{aligned} displaystyle L(w,b,xi,alpha,mu) =& frac{1}{2}||w||^2+Csumlimits_{i=1}^{N}xi_i-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_i(y_i(wx_i+b)-1+xi_i)-sumlimits_{i=1}^{N}mu_ixi_i,\ &text{where};;alpha_ige 0,mu_ige 0 end{aligned} $

　　则原始问题变为：

$ minlimits_{w,b,xi}max limits_{alphage 0 ,mu ge 0}L(w,b,xi,alpha,mu) $

　　其对偶问题为：

$begin{gather} max limits_{alphage 0 ,mu ge 0}minlimits_{w,b,xi}L(w,b,xi,alpha,mu) end{gather}$

　　由KKT条件1式令梯度为0，计算对偶问题内部$min$函数，得：

begin{align} &nabla_wL(w,b,xi,alpha,mu) = w-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_ix_i=0 \ &nabla_bL(w,b,xi,alpha,mu) = -sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i=0 notag\ &nabla_{xi_i}L(w,b,xi,alpha,mu) = C-alpha_i-mu_i=0 notag end{align}

　　代入$(9)$式，对偶问题变为：

begin{gather} begin{array}{lcl} minlimits_{alpha}displaystylefrac{1}{2}sumlimits_{i=1}^{N}sumlimits_{j=1}^{N}alpha_ialpha_jy_iy_j(x_ix_j)-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_i \ begin{aligned} text{s.t.};&sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i=0\ &0lealpha_ile C,;;i = 1,2,...,N end{aligned} end{array} end{gather}

　　其中$alpha_ile C$是由于$C-alpha_i=mu_ige0 $。类似地，接下来的操作就是：

　　1、算出$(11)$式的最优$alpha^*$。

　　2、$alpha^*$代入$(10)$式计算$w^*$。

　　3、找出满足$alpha_j^*$满足$0<alpha_j^*<C$。

　　　　此时$mu_j^* = C-alpha_j^*>0$，由KKT条件2式，有$mu_j^*xi_j^*=0$，因此$xi_j^*=0$。

　　　　同样地，由KKT2式，有$alpha_j^*(y_j(w^*x_j+b^*)-1+xi_j^*)=0$，因$alpha_j^*>0$，于是有：

$displaystyle b^* = y_j-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_i^*y_i(x_ix_j)$

支持向量

　　在线性SVM中，因为有松弛变量$xi$，不等式约束取等时样本不一定在其类别的边界上。上面只讨论了使用小于$C$的$alpha_j^*$，下面做个总结：
　　1、若$alpha_i^* = 0$ ，则$xi_i = 0$ ，分类正确，$x_i$在分离间隔边界的外侧；

　　2、若$0<alpha_i^* < C$ ，则$xi_i = 0$ ，分类正确，支持向量$x_i$恰好落在间隔边界上；

　　3、若$alpha_i^* = C,0<xi_i<1$ ，则分类正确，$x_i$在间隔边界与分离超平面之间；

　　4、若$alpha_i^* = C,xi_i=1$，则分类错误，$x_i$在分离超平面上；

　　5、若$alpha_i^* = C,xi_i>1$，则分类错误，$x_i$位于分离超平面误分一侧。

　　其中2~5都是支持向量。

合页损失函数

　　线性SVM还有另一种等价的优化目标函数：

$begin{gather}displaystyle minlimits_{w,b}sumlimits_{i=1}^{N}left[1-y_i(wx_i+b)right]_++lambda||w||^2end{gather}$

　　其中

$[z]_+= left{ begin{aligned} &z,;;z>0 \ &0,;;zle0 end{aligned} right.$

　　感觉可以直接梯度下降。

等价性证明

　　令$(12)$中

$left[1-y_i(wx_i+b)right]_+=xi_i$

　　则

　　1、有$xi_ige 0$（一个不等式约束成立）；

　　2、当$1-y_i(wx_i+b)>0$时，可得$y_i(wx_i+b)=1-xi_i$；

　　3、当$1-y_i(wx_i+b)le0$时，$xi_i=0$，有$y_i(wx_i+b)ge1-xi_i$。

　　　　综合2、3，不论$1-y_i(wx_i+b)$如何取值，总有$y_i(wx_i+b)ge1-xi_i$（另一个不等式约束成立）。

　　于是$(12)$可写成：

begin{array}{lcl} minlimits_{w,b,xi}displaystylesumlimits_{i=1}^{N}xi_i+lambda||w||^2\ begin{aligned} text{s.t.};;;&y_i(wx_i+{b})ge 1-xi_i,;;i=1,2,...,N\ &xi_ige 0,;;i=1,2,...,N\ end{aligned} end{array}

　　然后优化项常系数权重改一下就和$(8)$一模一样了。

非线性SVM

　　对于特征分布是非线性的样本，需要将非线性可分特征映射到另一个空间（维度不变或变高都可），变成线性可分特征。然后才能用线性SVM来优化参数。如图下左图到右图：

　　理论上需要定义确定的映射函数将输入映射成线性可分的特征，实际上这一中间环节可以隐去。下面说明这一方法。

核技巧

　　定义从输入空间到特征空间的映射$phi(x):mathcal{X}to mathcal{H}$，观察线性可分SVM的对偶问题和最终的判别函数，里面关于样本特征之间的运算都是内积。因此映射后的线性可分的样本特征要做的同样是内积。定义这一内积为：

$K(x,z)=<phi(x),phi(z)>$，后面内积直接用$phi(x)phi(z)$表示

　　样本的维度比较小还好，比如上图的二维，可以直接想出一个映射，但是当维度很高时就很难想了。因此想到，可以跳过定义映射，直接定义这个$K(x,z)$，称之为核函数。那么什么样的核函数一定可以表示成两个映射后的向量的内积呢？这样的核函数叫做正定核。

正定核的充要条件

　　设$K:mathcal{X}timesmathcal{X}to R$为对称函数，则$K(x ,z) $为正定核函数的充要条件是：

　　对任意$x_i in mathcal{X}， i=1, 2,..., n, K(x， z) $对应的Gram 矩阵

$ left[ begin{matrix} K(x_1,x_1)&cdots&K(x_1,x_n)\ vdots&&vdots\ K(x_n,x_1)&cdots&K(x_n,x_n)\ end{matrix} right]succeq 0$

　　$succeq 0$表示半正定。具体证明请看《统计学习方法》P136~139

常用正定核

　　线性核（即直接内积）：

$K(x,z)=xz$

　　多项式核：

$K(x,z)=(xz+1)^p$

　　高斯核：

$displaystyle K(x,z)=exp(-frac{||x-z||^2}{2sigma^2})$

　　使用核函数后，待优化的对偶问题变为：

$ begin{array}{lcl} minlimits_{alpha}displaystylefrac{1}{2}sumlimits_{i=1}^{N}sumlimits_{j=1}^{N}alpha_ialpha_jy_iy_jK(x_i,x_j)-sumlimits_{i=1}^{N}alpha_i \ begin{aligned} text{s.t.};&sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i=0\ &0lealpha_ile C,;;i = 1,2,...,N end{aligned} end{array} $

　　分类决策函数变为：

$displaystyle f(x) = text{sign}left(sumlimits_{i=1}^{N}alpha^*_iy_iK(x_i,x)+b^*right)=text{sign}left(sumlimits_{iin S}alpha^*_iy_iK(x_i,x)+b^*right)$

　　即原来的直接内积$x_ix$变成了先映射再内积的$K(x_i,x)$。其中$S$为支持向量集合（$alpha$不为0的样本集合，即2.2支持向量中的2~5）。

　　然而，选择合适的正定核以使输入映射成线性可分还需要作其它的努力。。。。。。。。。。

SMO算法

　　正如前面所说，在对偶问题中，$alpha$需要分类讨论的情况数随着样本量的增大以指数级上升（即每个$alpha$是否为0），SMO（sequential minimal optimization）算法可以加快对偶问题的优化。它采用迭代的方式，每次将待优化问题分离出一个小问题求解，最终求解原问题。

具体流程

初始化

　　初始化所有的$alpha_i$为常数（通常为0），此时这些$alpha_i$满足对偶问题的两个不等式约束：

$begin{gather}&sumlimits_{i=1}^{N}alpha_iy_i=0\ &0lealpha_ile C,;;i = 1,2,...,N\ label{}end{gather}$

　　实际上就是满足KKT条件的1和4，因为$(13)$是条件1使梯度为0得出的，$(14)$是条件1和4共同得到的。但是，它们并不一定同时满足KKT条件的2和3（因为原问题没有等式约束，所以没有条件5）：

$begin{gather}displaystylealpha_i(1-xi_i-y_i(sumlimits_{j=1}^Nalpha_jy_jK_{ji}+b))=0label{}end{gather}$

$begin{gather}displaystyle1-xi_i-y_i(sumlimits_{j=1}^Nalpha_jy_jK_{ji}+b)le0label{}end{gather}$

　　也就是：

$begin{gather}y_i(sumlimits_{j=1}^Nalpha_jy_jK_{ji}+b)left{begin{aligned}&ge1,;;alpha_i=0\&=1,;;0<alpha_i<C\&le1,;;alpha_i=C\end{aligned}right.label{}end{gather}$

　　如果条件2和3也都满足的话，就迭代结束，也就达到最终的解了。其中每次迭代都会保持$(13),(14)$两个约束成立。

迭代优化

　　每次迭代，选出最“不好”的两个$alpha$来进行优化，固定剩下的$N-2$个$alpha$（这样的操作有点像小批量梯度下降）。如何才算“不好”的$alpha$放后面讲，因为选择$alpha$基于优化的效率，为了说明效率所在，所以先说优化。

　　不失一般性，假设选择的两个变量是$alpha_1,alpha_2$。则这个子问题可以写为（最小化中将与$alpha_1,alpha_2$无关的项去了）：

$begin{array}{lcl} begin{aligned} minlimits_{alpha_i,alpha_2}W(alpha_1,alpha_2) = &frac{1}{2}K_{11}alpha_1^2+frac{1}{2}K_{22}alpha_2^2+y_1y_2K_{12}alpha_1alpha_2-\ &(alpha_1+alpha_2)+y_1alpha_1sumlimits_{i=3}^Ny_ialpha_iK_{i1}+y_2alpha_2sumlimits_{i=3}^Ny_ialpha_iK_{i2} \ end{aligned}\ begin{aligned} text{s.t.};;&alpha_1y_1+alpha_2y_2 = -sumlimits_{i=3}^Ny_ialpha_i = varsigma\ &0lealpha_ile C,;;;i=1,2 end{aligned} end{array}$

　　由$(13)$式，$alpha_1$又可以被$alpha_2$表达，于是这个子优化就变为一个带约束的一元二次函数最值问题，初中生的题目。主要操作就是先用导数求出二次函数的驻点，如果在约束内就为最终解，在约束外就选约束中与之较近的端点为解。尽管这么简单，但是为了后面的选择，还是要推导一下。约束可以在二维坐标系中表示出来：

　　因为$y_1,y_2$绝对值为1，所以只要关于它们的符号进行分类。分成两种情况，$y_1ne y_2$和$y_1=y_2$，于是可取的点分别如上图a、b中斜线所示。设$alpha_2$取值为$[L,H]$，则当$y_1ne y_2$时

$L=max(0,alpha_2-alpha_1),H=min(C,C+alpha_2-alpha_1)$

　　你可能会有为什么不用$varsigma$而用$alpha_2-alpha_1$来算的疑问。这是因为每次迭代都保持$(13)$的成立，因此直接用$alpha_2-alpha_1$方便，而$varsigma$需要算$N-2$个求和。又因为计算时利用了$(13),(14)$，所以这样算出来的$alpha_1,alpha_2$依然能维持$(13),(14)$的成立。当$y_1=y_2$时

$L=max(0,alpha_2+alpha_1-C),H=min(C,alpha_2+alpha_1)$

　　然后就是简单的先替换$alpha_1$，再求导等于0，整理后得到：

$(K_{11}+K_{22}-2K_{12})alpha_2^*=(K_{11}+K_{22}-2K_{12})alpha_2+y_2(E_1-E_2)$

　　其中

begin{gather} displaystyle E_i=left(sumlimits_{j=1}^Nalpha_iy_iK(x_j,x_i)+bright)-y_i label{} end{gather}

　　$E_i$理解为预测函数对$x_i$的预测值与其真实标签$y_i$之差。再定义

$ eta = K_{11}+K_{22}-2K_{12}$

　　$eta$理解为$x_1,x_2$映射到特征空间中的向量之间的距离（距离二范的平方），于是

$begin{gather}displaystylealpha_2^*=alpha_2+frac{y_2(E_1-E_2)}{eta}label{}end{gather}$

 　　然后更新$alpha_2,alpha_1$：

$ alpha_2^{update}= left{ begin{aligned} &H,&alpha_2^*>H\ &alpha_2^*,&Llealpha_2^*le H\ &L,&alpha_2^*<L\ end{aligned} right. $

$alpha_1^{update} = (varsigma - alpha_2^{update}y_2)y_1 = alpha_1+y_1y_2(alpha_2-alpha_2^{update})$

　　最后还有$(18)$的$b$的计算，《统计学习方法》对$b$的计算感觉没有说清楚。

　　在我理解，这个$b$的更新就是用更新后的$alpha_1$或$alpha_2$，看哪个在$(0,C)$区间，就用KKT条件2式即$(15)$直接计算$b$；如果两个$alpha$都是0或$C$，则取依然用$(15)$计算两个$b$，取这两个$b$的平均值。

　　我的疑问是：首先，更新完$alpha_1,alpha_2$后，$alpha_1,alpha_2$是否保证满足$(15),(16)$式呢，也就是没说明能不能用$(15)$来算$b$？其次，假设它们更新完后满足$(15),(16)$式，但是如果$alpha_1,alpha_2$都不在$(0,C)$区间为什么还能用$(15)$来算$b$呢？最后，书中只说了更新$b$，刚开始的$b$初始化为多少呢？还请懂的大佬不吝赐教。

变量的选择

　　变量的选择就是先遍历所有的$alpha_i$，查看哪个$alpha_i$违反$(17)$最严重，作为待更新的$alpha_1$；然后再选择使$(19)$中的$|E_1-E_2|$最大的$alpha_2$，以使$alpha_2$变化最大。

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