给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3] nums2 = [2] 则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4] 则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
这道题让我们求两个有序数组的中位数，而且限制了时间复杂度为 O(log (m+n))，看到这个时间复杂度，自然而然的想到了应该使用二分查找法来求解。但是这道题被定义为 Hard 也是有其原因的，难就难在要在两个未合并的有序数组之间使用二分法，如果这道题只有一个有序数组，让我们求中位数的话，估计就是个 Easy 题。对于这道题来说，我们可以将两个有序数组混合起来成为一个有序数组再做吗，图样图森破，这个时间复杂度限制的就是告诉你金坷垃别想啦。那么我们还是要用二分法，而且是在两个数组之间使用，感觉很高端啊。那么回顾一下中位数的定义，如果某个有序数组长度是奇数，那么其中位数就是最中间那个，如果是偶数，那么就是最中间两个数字的平均值。这里对于两个有序数组也是一样的，假设两个有序数组的长度分别为m和n，由于两个数组长度之和 m+n 的奇偶不确定，因此需要分情况来讨论，对于奇数的情况，直接找到最中间的数即可，偶数的话需要求最中间两个数的平均值。为了简化代码，不分情况讨论，我们使用一个小 trick，分别找第 (m+n+1) / 2 个，和 (m+n+2) / 2 个，然后求其平均值即可，这对奇偶数均适用。若 m+n 为奇数的话，那么其实 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相当于两个相同的数字相加再除以2，还是其本身。
好，这里我们需要定义一个函数来在两个有序数组中找到第K个元素，下面重点来看如何实现找到第K个元素。首先，为了避免拷贝产生新的数组从而增加时间复杂度，我们使用两个变量i和j分别来标记数组 nums1 和 nums2 的起始位置。然后来处理一些 corner cases，比如当某一个数组的起始位置大于等于其数组长度时，说明其所有数字均已经被淘汰了，相当于一个空数组了，那么实际上就变成了在另一个数组中找数字，直接就可以找出来了。还有就是如果 K=1 的话，那么我们只要比较 nums1 和 nums2 的起始位置i和j上的数字就可以了。难点就在于一般的情况怎么处理？因为我们需要在两个有序数组中找到第K个元素，为了加快搜索的速度，我们要使用二分法，那么对谁二分呢，数组么？其实要对K二分，意思是我们需要分别在 nums1 和 nums2 中查找第 K/2 个元素，注意这里由于两个数组的长度不定，所以有可能某个数组没有第 K/2 个数字，所以我们需要先 check 一下，数组中到底存不存在第 K/2 个数字，如果存在就取出来，否则就赋值上一个整型最大值。如果某个数组没有第 K/2 个数字，那么我们就淘汰另一个数组的前 K/2 个数字即可。举个例子来说吧，比如 nums1 = {3}，nums2 = {2, 4, 5, 6, 7}，K=4，我们要找两个数组混合中第4个数字，那么我们分别在 nums1 和 nums2 中找第2个数字，我们发现 nums1 中只有一个数字，不存在第二个数字，那么 nums2 中的前2个数字可以直接跳过，为啥呢，因为我们要求整个混合数组的第4个数字，不管 nums1 中的那个数字是大是小，第4个数字绝不会出现在 nums2 的前两个数字中，所以可以直接跳过。
有没有可能两个数组都不存在第 K/2 个数字呢，这道题里是不可能的，因为我们的K不是任意给的，而是给的 m+n 的中间值，所以必定至少会有一个数组是存在第 K/2 个数字的。最后就是二分法的核心啦，比较这两个数组的第 K/2 小的数字 midVal1 和 midVal2 的大小，如果第一个数组的第 K/2 个数字小的话，那么说明我们要找的数字肯定不在 nums1 中的前 K/2 个数字，所以我们可以将其淘汰，将 nums1 的起始位置向后移动 K/2 个，并且此时的K也自减去 K/2，调用递归，举个例子来说吧，比如 nums1 = {1, 3}，nums2 = {2, 4, 5}，K=4，我们要找两个数组混合中第4个数字，那么我们分别在 nums1 和 nums2 中找第2个数字，nums1 中的第2个数字是3，nums2 中的第2个数字是4，由于3小于4，所以混合数组中第4个数字肯定在 nums2 中，所以我们可以将 nums1 的起始位置向后移动 K/2 个。反之，我们淘汰 nums2 中的前 K/2 个数字，并将 nums2 的起始位置向后移动 K/2 个，并且此时的K也自减去 K/2，调用递归即可，参见代码如下：
C++ 解法一：
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size(), left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
}
int findKth(vector<int>& nums1, int i, vector<int>& nums2, int j, int k) {
if (i >= nums1.size()) return nums2[j + k - 1];
if (j >= nums2.size()) return nums1[i + k - 1];
if (k == 1) return min(nums1[i], nums2[j]);
int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.size()) ? nums1[i + k / 2 - 1] : INT_MAX;
int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.size()) ? nums2[j + k / 2 - 1] : INT_MAX;
if (midVal1 < midVal2) {
return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
} else {
return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
}
}
};
Java 解法一：
public class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length, n = nums2.length, left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
}
int findKth(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k) {
if (i >= nums1.length) return nums2[j + k - 1];
if (j >= nums2.length) return nums1[i + k - 1];
if (k == 1) return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
if (midVal1 < midVal2) {
return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
} else {
return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
}
}
}
上面的解法一直使用的是原数组，同时用了两个变量来分别标记当前的起始位置。我们也可以直接生成新的数组，这样就不要用起始位置变量了，不过拷贝数组的操作可能会增加时间复杂度，也许会超出限制，不过就算当个思路拓展也是极好的。首先我们要判断数组是否为空，为空的话，直接在另一个数组找第K个即可。还有一种情况是当 K = 1 时，表示我们要找第一个元素，只要比较两个数组的第一个元素，返回较小的那个即可。这里我们分别取出两个数组的第 K/2 个数字的位置坐标i和j，为了避免数组没有第 K/2 个数组的情况，我们每次都和数组长度做比较，取出较小值。这里跟上面的解法有些许不同，上面解法我们直接取出的是值，而这里我们取出的是位置坐标，但是思想都是很类似的。不同在于，上面解法中我们每次固定淘汰 K/2 个数字，而这里我们由于取出了合法的i和j，所以我们每次淘汰i或j个。评论区有网友提出，可以让 j = k-i，这样也是对的，可能还更好一些，收敛速度可能会更快一些，参见代码如下：
C++ 解法二：
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size();
return (findKth(nums1, nums2, (m + n + 1) / 2) + findKth(nums1, nums2, (m + n + 2) / 2)) / 2.0;
}
int findKth(vector<int> nums1, vector<int> nums2, int k) {
if (nums1.empty()) return nums2[k - 1];
if (nums2.empty()) return nums1[k - 1];
if (k == 1) return min(nums1[0], nums2[0]);
int i = min((int)nums1.size(), k / 2), j = min((int)nums2.size(), k / 2);
if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {
return findKth(nums1, vector<int>(nums2.begin() + j, nums2.end()), k - j);
} else {
return findKth(vector<int>(nums1.begin() + i, nums1.end()), nums2, k - i);
}
return 0;
}
};
Java 解法二：
public class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length, n = nums2.length, left = (m + n + 1) / 2, right = (m + n + 2) / 2;
return (findKth(nums1, nums2, left) + findKth(nums1, nums2, right)) / 2.0;
}
int findKth(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
int m = nums1.length, n = nums2.length;
if (m == 0) return nums2[k - 1];
if (n == 0) return nums1[k - 1];
if (k == 1) return Math.min(nums1[0], nums2[0]);
int i = Math.min(m, k / 2), j = Math.min(n, k / 2);
if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {
return findKth(nums1, Arrays.copyOfRange(nums2, j, n), k - j);
} else {
return findKth(Arrays.copyOfRange(nums1, i, m), nums2, k - i);
}
}
}
此题还能用迭代形式的二分搜索法来解，是一种相当巧妙的应用，讲解在这个帖子中写的十分清楚，等有时间我再来写写分析过程：
C++ 解法三：
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size();
if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
if (n == 0) return ((double)nums1[(m - 1) / 2] + (double)nums1[m / 2]) / 2.0;
int left = 0, right = n * 2;
while (left <= right) {
int mid2 = (left + right) / 2;
int mid1 = m + n - mid2;
double L1 = mid1 == 0 ? INT_MIN : nums1[(mid1 - 1) / 2];
double L2 = mid2 == 0 ? INT_MIN : nums2[(mid2 - 1) / 2];
double R1 = mid1 == m * 2 ? INT_MAX : nums1[mid1 / 2];
double R2 = mid2 == n * 2 ? INT_MAX : nums2[mid2 / 2];
if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
else return (max(L1, L2) + min(R1, R2)) / 2;
}
return -1;
}
};
Java 解法三：
public class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length, n = nums2.length;
if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
if (n == 0) return (nums1[(m - 1) / 2] + nums1[m / 2]) / 2.0;
int left = 0, right = 2 * n;
while (left <= right) {
int mid2 = (left + right) / 2;
int mid1 = m + n - mid2;
double L1 = mid1 == 0 ? Double.MIN_VALUE : nums1[(mid1 - 1) / 2];
double L2 = mid2 == 0 ? Double.MIN_VALUE : nums2[(mid2 - 1) / 2];
double R1 = mid1 == m * 2 ? Double.MAX_VALUE : nums1[mid1 / 2];
double R2 = mid2 == n * 2 ? Double.MAX_VALUE : nums2[mid2 / 2];
if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
else return (Math.max(L1, L2) + Math.min(R1, R2)) / 2;
}
return -1;
}
}
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