费马小定理新手入门+总结
纵有疾风起，人生不言弃。
前言
最近新手的我做了几个和快速幂有关的题目，发现他们还经常和费马小定理联系在一起，所以有必要写一篇文章来总结一下费马小定理，以便后面更好的学习。
内容介绍
费马小定理是数论中的一个重要定理，再1636年提出。
核心：如果p是一个质数，并且整数a不是p的倍数，则有公式：(a^{p-1}equiv1(mod p))。
定理应用
那么问题来了，这个定理该怎么应用呢？
这里举一个题目来进行说明。
这个题目大体的意思是说输入一个数N，求N被拆分成若干个正整数的结果，注意 1+2 和 2+1算作两种。N很大，需要使用数组进行存储。
输出的结果可能很大，需要mod 1e9+7，注意这个数是一个质数，正好符合费马小定理的要求。
题目解答
隔板原理+组合数求和公式
(1-N)有N个元素，每个元素代表一个，分成K个数，即在((N-1))个空挡里放置(（）（K-1）)块隔板（最多放置N-1个挡板）。
即求组合数(，C(0,N-1)+C(1,N-1)+...+C(N-1，N-1))的和，根据二项式定理，这个和为(2^{n-1})
使用费马小定理
因为N很大，所以需要使用费马小定理来进行降幂
[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)+k(p-1)}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}mod(p)*2^{k*(p-1)}mod(p) tag{2.1} ]
又因为p是一个质数，且2和p互质，那么就可以使用费马小定理了，即
[ 2^{k*(p-1)}mod(p)=1 tag{2.2} ]
这样将(公式(2.2)公式)带入到(公式(2.1)公式)中得到
[ 2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}=2^{(n-1)mod(p-1)} tag{2.3} ]
于是计算就变得比较简单了。
快速幂进行求取(2^{(n-1)mod(p-1)})的值
快速幂的复杂度为(O(lgN))
代码展示
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1e9+7; const ll maxn=1e8; char str[maxn]; ll qpow(ll a) //快速幂的模板 { ll ans=1, base=2; //base存储基数，这里可以调整不同的数 while(a) { if(a&1) { ans=ans*base%mod; } base=(base*base)%mod; //注意这里如果基数是2的情况下，不能使用base=(base<<1)%mod //因为这里有mod，所以写法目前是唯一的，就是代码中的写法。 a>>=1; } return ans%mod; } int main() { while(scanf("%s", str)!=EOF) { ll num=0, len=strlen(str); for(int i=0; i<len; i++) num=(num*10 + str[i]-'0') % (mod-1); //这就是对2的指数的化简，使用费马小定理 printf("%lldn", qpow(num-1)); } return 0; }
总结
[ 2^{p-1}=1(mod p) ]
- 费马小定理最重要的一点是p（模数）必须是质数，并且与a（底数）互质，只有这样才能使用。
- 使用这个定理的目的主要是降低计算的复杂度。
- 也可以用于某些数论方面的题目，这个目前自己用的比较少，不是很清楚。
END
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