1.前言
最近做微信小程序开发，小程序里面对敏感数据的加密采用了 AES -128-CBC的对称加密方式。所以想写一篇介绍AES-Rijndael算法的文章，此篇文章为AES作铺垫，因为它的列混淆算法的运算操作用到了有限域的概念。
2.有限域的介绍
Galois Field 在国内有两个翻译别名：伽罗华域、伽罗瓦域（我也不知道为什么没能统一一个翻译）。在数学中，有限域是一个包含有限元素的域。通过GF(2^M)来表示域中含有2^M个元素。每一个域中有多个本原多项式，当M=8时，常见的本原多项式为P(x)=x^8+x^4+x^3+x^2+1，AES中的本原多项式为不可约多项式(irreducible polynomial):P(x)=x^8+x^4+x^3+x^1+1。
3. 有限域的加法与乘法运算
有限域中的运算方式需要先把数值转化成多项式的形式，然后再进行相关运算。其中加法操作可以直接进行运算。
加法：计算机异或运算
加法例子：4+3
展开多项式为: x^2 + (x^1 + x^0) => 2^2 + 2^1 + 1 => 4 + 2 + 1 => 4 ^ 2 ^ 1 = 7
直接计算：4^3 = 7
乘法：通过乘法结合律展开多项式，如果x的最高指数大于7，那么需要对本原多项式取余数（初二多项式除法运算），否则就是展开后的多项式做加法操作。
取余操作有一个算法，参考《密码编码学与网络安全学原理》一书中提到的公式：
已知GF(2^8)最长的多项式f(x)=b7*x^7+b6*x^6+b5*x^5+b4*x^4+b3*x^3+b2*x^2+b1*x^1+b0*x^0
x*f(x)= b7*x^8+b6*x^7+b5*x^6+b4*x^5+b3*x^4+b2*x^3+b1*x^2+b0*x^1
x*f(x)的情况如下：
当b7=0时，最高指数为7不需要取余，直接做异或加法运算。
当b7=1时，最高指数为8，大于7，则需要取m(x)的余数，推导如下：
f(x) = ( b7*x^8+b6*x^7+b5*x^6+b4*x^5+b3*x^4+b2*x^3+b1*x^2+b0*x^1 )mod m(x);
这里有另外一个等式：x^8 mod m(x) = [m(x) – x^8] = (x^4 + x^3 + x + 1)
所以根据上面的等式可以化简f(x) = b6*x^7+b5*x^6+b4*x^5+b3*x^4+b2*x^3+b1*x^2+b0*x^1 + x^4 + x^3 + x +1
而x^4 + x^3 + x + 1 就是十六进程的0x1B(因为2^4+2^3+2+1=27),因此本原多项式取余的操作就等价于 异或本原多项式。公式如下：
图片来源： 《密码编码学与网络安全学原理》 第88页
高阶的x可以重复使用这个公式，在程序实现部分会详细介绍下。
乘法例子：7*4
展开多项式为:(x^2+x^1+x^0)*(x^2) => x^4 + x^2 + x^2 => 2^4 + 2^2 + 2^2 = 16 ^ 4 ^ 4 = 16
乘法例子：130*3
展开多项式为:(x^7+x^1)*(x^1+x^0) => x^8 + x^7 + x^1 + x^1 => x^8 + x^7 +( x^8+x^4+x^3+x^1+x^0 ) ( 不可约多项式 ) => x^7 + x^4+x^3+x^1+x^0 => 2^7 + 2^4 + 2^3 + 2^1 + 1 = 128 ^ 16 ^ 8 ^ 2 ^ 1 = 155
4. 程序的实现
对于任意两个数a和b做乘法运算，基于 GF(2^8) 的条件下，我们知道最后展开的多项式都是2^N之和，N=[0,8]。因此，多项式可能值为2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256。换算成二进制就是：
00000001 => 0x01
00000010 => 0x02
00000100 => 0x04
00001000 => 0x08
00010000 => 0x10
00100000 => 0x20
01000000 => 0x40
10000000 => 0x80
所以对于任意字节数a，和它相乘的所有可能为：a*x = a*(0x80+0x40+0x20+0x10+0x08+0x04+0x02+0x01)
比如：0x57 * 0x13
0x57 * 0x13 = 0x57*(0x01+0x02+0x10)
因为0x13 = 2^4+2^1+2^0 = 0x10 + 0x02 + 0x01 所以我们只要分别对a进行0x10、0x02、0x01的乘积再进行累加操作。（如果遇到高阶，还是把0x01-0x80所有乘积都算出来，因为高阶的乘法依赖低阶乘积的结果）
0x57 * 0x01 = (x^6 + x^4 + x^2 + x^1 + x^0 )*x^0 = x^6 + x^4 +x^2 + x^1 + x^0 = 64 ^ 16 ^ 4 ^ 2 ^ 1 = 0x57
0x57*0x02 = (x^6 + x^4 + x^2 + x^1 + x^0 ) *x^1 = x^7 + x^5 + x^3 +x^2 + x^1 = 128 ^ 32 ^ 8 ^ 4 ^ 2 = 0xAE
0x57*0x10 = (x^6 + x^4 + x^2 + x^1 + x^0 ) *x^4 = x^10 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4 = (这里我们遇到了x的高阶情况，高阶的计算方式参考第二部分图片中的x*f(x)的那个公式）
所以将0x57*0x10 转成多项式为：(x^4)*0x57 = ((x^3)*0x57)*(x^1) = (((x^2)*0x57)*x^1)*(x^1)=( (((x^1)*0x57)*x^1)*(x^1) )*x^1即((0x57*0x02)*x^1)*(x^1)*(x^1)
因为上面的0x57*0x02=0xAE,即多项式:x^7+x^5+x^3+x^2+x^1,所以我们接着计算(x*( x^7+x^5+x^3+x^2+x^1 ))*x*x 就可以了，继续往下推算：
(x^8+x^6+x^4+x^3+x^2)*x*x
因为最高指数8大于7，所以进行取余操作，取本原多项式的模为：(x^8+x^6+x^4+x^3+x^2+x^8+x^4+x^3+x^1+1)*x*x
(x^6+x^2+x+1)*x*x
(x^7+x^3+x^2+x)*x
x^8+x^4+x^3+x^2
因为最高指数8大于7，所以进行取余操作，取本原多项式的模为：
(x^8+x^4+x^3+x^2+ x^8+x^4+x^3+x^1+1 )
x^2+x+1
4 ^ 2 ^ 1 = 0x07
所以 0x57 * 0x13 = 0x57*(0x01+0x02+0x10) = 0x57*0x01 + 0x57*0x02 + 0x57*0x10 = 0x57 + 0xAE + 0x07 = 0xFE
根据上面的推算我们就可以设计出算法了，对于x*f(x)实质上，x=2的时候，乘以2在计算机里就是左移的操作，我们将上面的计算用二进制表示为：
0x57 * 0x01 = 01010111 * 00000001 = 01010111 = 0x57
0x57 * 0x02 = (0x57*0x01)*0x02 = (0x57*0x01) << 1 = 10101110 = 0xAE
0x57 * 0x04 = (0x57*0x02) << 1 = 101011100 (这里b7=1,所以进行异或操作,先去掉第9位的1) = (101011100 & 0xFF) ^ 0x1B = 0x47
0x57 * 0x08 = (0x57*0x04) << 1 = 10001110 = 0x8E
0x57*0x10 = (0x57*0x08) << 1 = 100011100 (b7=1，同上进行异或操作) = (100011100 &0xFF) ^ 0x1B = 7
算法描述：
第一步：计算0x01-0x10的所有结果集
if (($a << 1) & 0x100) $res[i] = (($a << 1) & 0xFF) ^ 0x1B
else $res[i] = $a << 1
第二步：计算$b由哪几个结果集组成
第三步：异或求和
4.1 PHP实现AES列混合有限域乘积计算
PHP实现AES列混合有限域乘积计算
function aes_multi($a, $b = 0)
{
if ($a >= 2 ** 8 || 2 ** 8 <= $b) {
exit('只支持GF(2^8)域的计算');
}
$binMulti = [];
$result = 0;
for ($i = 0; $i < 8; $i++) {
$a = ($a & 0x100) ? (($a & 0xFF) ^ 0x1B) : $a;
$binMulti[] = $a;
$a = $a << 1;
}
$binString = str_pad(base_convert($b, 10, 2), 8, 0, STR_PAD_LEFT);
for ($i = 0; $i < 8; $i++) {
if ($binString{$i} === '1') {
$pos = strlen(substr($binString, $i)) - 1;
$result ^= $binMulti[$pos];
}
}
return $result;
}
var_dump(aes_multi(0x57, 0x13));5.参考
官方文档 https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.197.pdf
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文章来源: 博客园
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