原创
问题描述：
问题描述：
给定N个物品,每个物品有一个重量W和一个价值V.你有一个能装M重量的背包.问怎么装使得所装价值最大.每个物品只有一个.
输入格式
输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示物品的个数和背包能装重量。
以后N行每行两个数Wi和Vi,表示物品的重量和价值
以后N行每行两个数Wi和Vi,表示物品的重量和价值
输出格式
输出1行，包含一个整数，表示最大价值。
样例输入
3 5
2 3
3 5
4 7
2 3
3 5
4 7
样例输出
8
数据规模和约定
1<=N<=200,M<=5000.
解题思路：
大家应该都看过很多大神的代码了，如果还有不明白的地方，不妨听听我的解释，希望能给你带来柳暗花明的感觉。
首先大家都应该知道，一个物品，有放与不放两种选择，我们的最终结果就是综合所有物品放与不放的选择来确定。
有这样一个状态方程：
F[ i ][ j ]=max( F[ i-1 ][ j ] ,F[ i-1 ][ j - wi[i] ] + vi[ i ] );
其实不难理解，F[ i ][ j ] 代表 当放到第 i 个物品时，此时容量还剩 j ，我们可以选择放或者不放；
不放的话 F[ i ][ j ]=F[ i-1 ][ j ]；就是相当于放了前 i-1 个物品中的物品；注意，不一定是前 i-1 个
物品全都放进了背包。第 i 个物品放进去的话 F[ i ][ j ]=F[ i-1 ][ j - wi[i] ] + vi[ i ]； 放进去了所以
在前面放了 i-1 个物品中的物品的基础上，容量减去 wi[i]， 价值加上vi[ i ]（但得在wi[i] <= j 条件下）；
有些同学估计挺纳闷，在放得下的前提下从（F[ i-1 ][ j ] ,F[ i-1 ][ j - wi[i] ] + vi[ i ] ） 这两个中选择
最大的，那肯定是加入了第 i 个物品的大呀，这还需要思考吗？请看下图：
假设有3个物品，重量分别为：9、7、8；价值分别是：10、15、16，背包容量是20.
其实只要我们按照那个公式套进去，就会发现，每个物品放与不放的情况都会被遍历到，
回到上面的问题，F[ i-1 ][ j ] < F[ i-1 ][ j - wi[i] ] + vi[ i ] 是不错，但是你放了第 i 个物品，假设是这个例子
的最后一个物品，前面你或许就得少放一个物品了。也许你放了第 i 个物品，放不下 i+1 个物品了，但是 vi[ i+1 ] > vi[ i ]
所以每种情况我们都要遍历过，选出最优的。
大家请看上图，思路就是从左上角开始，一行一行的求出所有放与不放的可能，右下角的44就是我们要求的答案了；但是需要注意的是，
其实很多数据我们根本用不着，从最后一行往上数，我们要的数据个数只是1、2、4、8、16个而已。
代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #include<string.h> 4 5 int max(int a,int b) 6 { 7 return a>b?a:b; 8 } 9 10 int main() 11 { 12 int n,m; 13 scanf("%d%d",&n,&m); 14 15 int *w,*v; 16 w=(int *)malloc(sizeof(int)*n); 17 v=(int *)malloc(sizeof(int)*n); 18 19 int **arr; //动态分配二维数组 20 arr=(int **)malloc(sizeof(int *)*(n+1)); 21 int i; 22 for(i=0;i<=n;i++) 23 arr[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*(m+1)); 24 25 int j; 26 for(i=0;i<=n-1;i++) 27 scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); 28 for(i=0;i<=n;i++) 29 for(j=0;j<=m;j++) 30 { 31 if(i==0 || j==0) //0容量或者0物品置0 32 arr[i][j]=0; 33 else if(w[i-1]<=j) 34 arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]); 35 else 36 arr[i][j]=arr[i-1][j]; 37 } 38 printf("%d",arr[n][m]); 39 free(arr); 40 free(w); 41 free(v); 42 return 0; 43 }
思路提升：
从上面的表格可以看到，我们用了一个二维数组存储了每一行的数据，但是实际情况是第1行数据只是第2行用，用完以后就没用了，
第 i 行的数据只是第 i+1 行使用，用完了就放在数组里面占用大量空间了；所以我们完全可以用一个 “滚动数组” 来实现这种操作，
所谓的滚动数组其实很简单，就是数组里面我们先存放第 1 行的数据，然后我们根据第 1 行的数据求出第 2 行的数据存放在数组；
就是第 i 行的数据先存放，我求出第 i+1 行的数据以后数组我来占用，这样不断变化的数组就是滚动数组，很简单吧。
代码实现：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 4 int max(int a,int b) 5 { 6 return a>b?a:b; 7 } 8 9 int main() 10 { 11 int n,m; 12 scanf("%d%d",&n,&m); 13 14 int *wi,*vi; 15 wi=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1)); 16 vi=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1)); 17 18 int i; 19 for(i=1;i<=n;i++) 20 scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]); 21 22 int *dp; 23 dp=(int *)malloc(sizeof(int)*(m+1)); //滚动数组 24 for(i=0;i<=m;i++) 25 dp[i]=0; 26 27 int j; 28 for(i=0;i<=n;i++) 29 for(j=m;j>=wi[i];j--) //容量从大到小 30 { 31 if(i==0) 32 { 33 dp[j]=0; 34 continue; 35 } 36 37 dp[j]=max(dp[j],dp[j-wi[i]]+vi[i]); 38 } 39 40 printf("%d",dp[m]); 41 return 0; 42 }
代码中状态方程变为：dp[j]=max(dp[j],dp[j-wi[i]]+vi[i]);
请大家注意，dp[j]代表的是现在要求的第 i 个物品考虑放不放在容量为 j 的物品下的最优解，而括号里面的dp[j]代表的
是放 i-1 个物品中的物品时的最优解，相当于上面的F[ i-1 ][ j ]，也就是说这个是前一个状态的量，而dp[j-wi[i]]+vi[i]
就是上面的F[ i-1 ][ j - wi[i] ] + vi[ i ]了。但是容量 j 的值要从大到小了，因为我们求大容量背包的价值时要用到
小容量背包的价值，所以如果从小容量开始求，等到求放下一个物品时，从小容量开始求，那么当我们求这个物品的大容量时放与不放时
上一个物品的小容量值由于被这个物品的小容量值覆盖，所以要从大容量开始求。
2018-04-06
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