欧几里得（Euclid）与拓展的欧几里得算法
欧几里得算法
原理
欧几里得算法是一种快速计算最大公约数的算法，对于任意的两个数((a,b))，其最大公约数表示为(gcd(a,b))，根据欧几里得算法，(gcd(a,b)=gcd(b,a%b))。证明如下：
如果(b>a)，显然成立；因此只需考虑(b<a)的情况。根据初等数学知识，可知(a,b)的关系可表示为(a=qb+r)，其中(q)为商，(r)为余数。
对于((a,b))的最大公约数(g1=gcd(a,b))，当然(g1|a,g1|b)（(g1|a)表示g1整除a），所以易知对于(r=a-qb)，同样满足(g1|r)；
又因为(a%b=r)，所以对于(a,b)的最大公约数g1，同样满足(g1|a%b,g1|b)，即((b,a%b))的最大公约数至少为(g1)，即(gcd(b,a%b)>g1=gcd(a,b))。
反过来，对于((b,a%b))的最大公约数(g2=gcd(b,a%b))，同样满足(g2|a, g2|b)，即(gcd(a,b)>g2=gcd(b,a%b))。
因此(gcd(a,b)=gcd(b,a%b))证明成立。下面对该算法进行实现。
实现
#include <iostream>
using namespace std;
int euclid(int a, int b)
{
if (b!=0)
{
return euclid(b, a%b);
}
else
{
return a;
}
}
int main()
{
int a(0),b(0);
cin >> a >> b;
cout << euclid(a,b);
return 0;
} 拓展的欧几里得算法
原理
拓展的欧几里得算法在密码学中有着重要的应用，现给出定理：
对正整数a，b；总是存在一组整数X,Y，使得(Xa+Yb=gcd(a,b))成立，且(gcd(a,b))为满足这种条件的最小整数。
这里不对该定理进行证明，欧几里得算法给出了在已知a，b的情况下求(gcd(a,b))的方法，但是如果想要求得X，Y的值，就要求助于拓展的欧几里得算法。怎么才能从欧几里得算法的计算过程当中得到我们想要求解的值呢？我们再次详细回顾欧几里得算法的求解过程。
对于已知整数(a,b)，我们的算法求解过程如下：
| (a) | (b) | 余数(r) | 商(q) |
|---|---|---|---|
| a | b | (r1=a%b) | (q1=a/b) |
| b | r1 | (r2=b%r1) | (q2=b/r1) |
| r1 | r2 | (r3=r1%r2) | (q3=r1/r2) |
| ... | ... | ... | ... |
| (r_{n-1}) | (r_n) | (r_{n+1}=r_{n-1}%r_n) | (q_{n+1}=r_{n-1}/r_n) |
逐步计算，直到某一步出现(r_{n-1}%r_{n}=0)的情况，这时候就找到了最大公约数，最大公约数即为(r_n)，以上就是欧几里得算法的全过程。通过这个过程当中多产生的一些中间结果我们能不能求得(X,Y)的值呢？下面进行两种求解方法的推导。
递归求解
根据上面的表格我知道，(Xa+Yb=gcd(a,b))，并且对于中间所求解的每一步我们所得到的(r_i)都满足(X_icdot r_i+Y_icdot r_{i+1}=gcd(a,b))，因为很明显每一对(r_i,r_{i+1})都满足最大公约数为(gcd(a,b))，这也是欧几里得算法的原理。
我们试着寻找((X_i,Y_i),(X_{i+1},Y_{i+1}))之间的递推关系，由以上阐述可知:
[
begin{cases}
X_icdot r_i+Y_icdot r_{i+1}=gcd(a,b), &text{(1)}\
X_{i+1}cdot r_{i+1}+Y_{i+1}cdot r_{i+2}=gcd(a,b),&text{(2)}
end{cases}
]
为了将上式转换成(r_i)的方程组，我们使用(r_{i+1},r_{i+2}来表示r_i)，通过以上可知(r_i=r_i/r_{i+1}cdot r_{i+1}+r_{i+2})，将该式带入上式（1），并将两式合并可得：
[
X_icdot (r_i/r_{i+1}cdot r_{i+1}+r_{i+2})+Y_icdot r_{i+1}=X_{i+1}cdot r_{i+1}+Y_{i+1}cdot r_{i+2}
]
进一步化简可得：
[
(X_icdot r_i/r_{i+1}+Y_i)cdot r_{i+1}+X_icdot r_{i+2}=X_{i+1}cdot r_{i+1}+Y_{i+1}cdot r_{i+2}
]
根据系数相等的原则可得：
[
begin{cases}
X_icdot r_i/r_{i+1}+Y_i=X_{i+1}, &text{(1)}\
X_i=Y_{i+1},&text{(2)}
end{cases}
]
以上就得到了((X_i,Y_i),(X_{i+1},Y_{i+1}))之间的递推关系，那么我们接下来的工作就是找到一对可以求出其值的((X_i,Y_i))，通过以上可知当出现某一次计算使得(r_{i}%r_{i+1}=0)时，我们可知对于(X_icdot r_i+Y_icdot r_{i+1}=gcd(a,b))，满足(gcd(a,b)=r_{i+1})，那么很显然(X_i=0,Y_i=1)。于是我们就得到了一对((X_i,Y_i))的值，我们已经知道了最后一对(r_{i},r_{i+1})所对应的((X_i,Y_i))才能够推知前面的值，所以我们的推导时从后往前推的，因此我们将上面的递推关系稍微变换一下形式：
[
begin{cases}
X_i=Y_{i+1},&text{(1)}\
Y_i=X_{i+1}-Y_{i+1}cdot r_i/r_{i+1}, &text{(2)}
end{cases}
]
此时我们就得到了推导关系和初值，通过计算我们就可以求得满足(Xa+Yb=gcd(a,b))的(X,Y)值。下面通过代码对其进行实现：
#include <iostream>
using namespace std;
void extEuc(int a, int b, int&x, int&y)
{
int rx,ry;
int r(0);
if (a%b==0)
{
x=0;y=1;
return;
}
else
{
r = a%b;
extEuc(b, r, rx, ry);
x = ry;
y = rx - ry*a/b;
return;
}
}
int main()
{
int a,b;
int x,y;
cin >> a >> b;
extEuc(a, b, x, y);
cout << x <<' '<< y << endl;
return 0;
} 输入42 2017可求得输出为-48，1。
迭代求解
较多的递归调用可能会影响计算速度，所以我们接下来推一下迭代的计算方式，已知上面表格中所列欧几里得算法的计算步骤。已知(gcd(a,b))是满足该集合的最小值(lbrace Xa+Yb | X,Yin Z rbrace)，已知对于每一步所产生的余数均能被(gcd(a,b))整除，现在考虑每一步迭代所产生的余数满足的等式：
[
begin{cases}
r_i=X_icdot a+Y_icdot b \
r_{i+1}=X_{i+1}cdot a + Y_{i+1}cdot b
end{cases}
]
且已知(r_i, r_{i+1})满足(r_{i-1}=r_{i-1}/r_icdot r_i+r_{i+1})，将上面两式代入到该式，可得：
[
r_{i-1}=(r_{i-1}/r_icdot X_i+X_{i+1})cdot a+(r_{i-1}/r_icdot Y_i +Y_{i+1})cdot b.
]
值得注意的是此处的(X_i,Y_i)与递归方法中的值含义不同。根据上式可推知以下递推关系：
[begin{cases}
X_{i+1}=X_{i-1}-r_{i-1}/r_icdot X_i \
Y_{i+1}=Y_{i-1}-r_{i-1}/r_icdot Y_i
end{cases}]
已知中间的递推关系，关键是考虑如何判断循环的起始值和结束条件，对于(a,b)也可看做是余数(r_i)，那么对于(a,b)来说，其满足的值为：
[begin{cases}
a = acdot 1 + bcdot 0\
b = acdot 0 + bcdot 1
end{cases}]
所以就得到了两对((X,Y))的值，分别为((1,0),(0,1))，并且已知(r_i)之间的递推关系为(r_{i+1}=r_{i-1}%r_i)。我们也知道循环结束的条件为(r_i=gcd(a,b))，其最后的形式为(Xa+Yb=gcd(a,b))，其直接判断方式为(r_{i-1}%r_i=0)，然后我们就得到了最终的(X,Y)值，根据以上递推形式，我们有以下实现：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b;
int x1(1),y1(0),x2(0),y2(1);
int temp;
cin >> a >> b;
while (a%b!=0)
{
temp = x2;
x2 = x1 - a/b*x2;
x1 = temp;
temp = y2;
y2 = y1 - a/b*y2;
y1 = temp;
temp = a%b;
a = b;
b = temp;
}
cout << x2 <<' '<<y2<<endl;
return 0;
} 输入42 2017可求得输出为-48，1。
这里有一个用尽可能多的程序语言实现求逆元的网站，大家也可以参考这里的不同实现。
参考文献
[1] Katz J，Lindel Y．Introduction to Modern Cryptography—Principle and Protocol现代密码学——原理与协议【M】任伟．北京：国防工业出版社．2010：10-15．
- 还没有人评论，欢迎说说您的想法！
客服
