初级模拟电路：10-1 对数图与分贝

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作者:初级电路与软件研究

1. 对数坐标图

（1）概念引出

研究频率，一定会用到对数坐标图，对数图可以表现很宽范围内的频率的相对变化对电路性能的影响，而且这种效果是普通的线性坐标图达不到的。

这样说可能有点抽象，我们举个现实中关于消费的例子你可能就理解了。比如，如果你要买个馒头，馒头的价格若是从1块钱涨到5块，你可能就觉得贵了；接下去，你打算买个手机，如果手机的价格变化个5块钱，你可能完全不在乎，在买手机的情况下，你在乎的是几百块到几千块上下的价格变化；再接下去，你如果打算要买辆汽车，汽车的价格若是变化个几百块，对你来说可能也完全不上心了，你在乎的是万元级的价格上下变化。

买汽车时的几百块、和买手机时的几百块、和买馒头时的几块钱，它们的客观单位是一样的，都是“元”，但是对你的心理来讲，在不同的价位区间时对它们的评估标准是不一样的。这个就是对数坐标图能大显身手的地方，它能在不同的区间体现“相对变化”带来的影响。

（2）对数坐标图的特性

对数坐标将原数值取对数后，再将这个对数结果按比例分配到坐标轴上，常用的对数坐标通常以10为底，也有时候会以2为底和以e为底，这种情况一般会在图旁边特别说明。

对数坐标图有“半对数坐标图”和“全对数坐标图”两种。半对数坐标图的横坐标为对数坐标，纵坐标仍为普通坐标；而全对数坐标图的纵坐标和横坐标都为对数，此图有一个变种，即纵坐标为分贝表示（分贝也是对数的一种），分贝图我们放到下一小节再看。本小节我们先关注普通对数坐标图的一些特性，下图为一个半对数坐标图横坐标从1到10的图例：

图10-1.01

从图上可以看到，横坐标从1变化到2时，占据了大约30%的跨度，从1到3占据了大约一半的跨度，从1到5占据了大约70%的跨度，而从9到10仅占据了不到%5的跨度。这点很符合我们先前的直觉，价格从1块变到2块我们会比较关注，但从9块变到10块我们可能就不那么关注了。

然后我们再将横坐标的范围放大到1~1000的范围，如下图所示：

图10-1.02

从图上可以看到，从1~10和从10~100和从100~1k，它们的横坐标长度是等长的，也就是说，横轴数值每增加10倍，它们在图上所占据的跨度是相同的。这是对数坐标图的一个重要特性！

横坐标数值不仅可以往大增加范围，还可以往小增加范围，如果你要研究小尺度的问题，同样可以将对数坐标向左无限扩展，每缩小10倍，它们在图上的跨度仍旧是相同的，下图是0.01~10的范围的对数坐标图：

图10-1.03

一般在使用对数坐标图的时候，我们仅需要取我们关注的横坐标范围就可以了（比如0.1~10，或是1~10000等），向左可以无限扩展（永远不会到达0），向右也可以无限扩展（永远不会到达无穷大）。

最后，在使用对数坐标图做图解法求值的时候，需要把图上量到的尺寸，再用反对数计算变回去得到原值，方法如下：

图10-1.04

当你需要计算A点横坐标的实际数值时，先在图上量出A点到10x的距离为da，然后再量出10x到10x+1的尺寸为D（回顾一下：每个10倍跨度都是等长的），则A点的实际数值的计算公式为：

（3）十倍程

最后再讲一个使用对数图时经常出现的单位：十倍程（decade）。

在普通的线性坐标系上，一般横坐标的单位量度是1。比如对于下图的线性坐标和直线y=kx+C：

图10-1.05

x每增加1个单位（从x1到x2），y就增加k（Δy=k*1=k），写成表达式就是：

那么问题来了：在对数图上，横坐标的1个单位是多少？由于横坐标的尺度已经变成了lg(x)，因此，设设对数图上两个点的横坐标分别为x1和x2，那么横坐标的1个单位就是：

根据对数的性质，可得：

从上式结果可见，对数图上横坐标的1个单位的距离为10倍数值，比如：从1到10、从2到20、从30~300等等，只要x2是x1的十倍，在对数图横坐标上就是一个单位。

在电路的分析中，经常会将频率作为对数图的横坐标，常会出现：“n / 十倍频程” 的说法，意思就是：作为横坐标的频率每增加10倍，纵坐标增加n。

根据上面的lg(x2/x1)的式子，还可看到，只要x2/x1的比值相等，它们在对数横坐标上的距离就是相等的。比如：从1→2、从3→6、从100→200，它们之间的比值都为2，因此在对数横坐标上的距离也都是相等的。如果用于描述频率，就可以说成：m / 二倍频程，意思是：作为横坐标的频率每翻个倍，纵坐标增加m。

2. 分贝与增益

（1）功率增益

分贝单位是一个电子电路或信号处理中的一个常用单位，不过它的定义可能会令初学者感到有点困惑，尤其不理解那个系数20是怎么来的，所以这里需要把前因后果讲一讲。在了解了这个前后过程后，你会发现分贝这个单位还是挺好用的。

贝尔（bel）这个单位是以纪念电话的发明者贝尔而命名的，最初这个单位的用途是在通信系统中用来衡量功率的增益，其定义为：

回想一下19世纪末20世纪初那个时代，那时还没有现代信息理论啥的，当时的人们觉得，通信就是远距离传输功率，只要功率大了什么都好办，功率越大，其抗干扰能力就越强、也更能经得起传输的过程中的各种衰减。因此功率的比值是一个很重要的单位：

后来人们发现这个比值数字经常太大或太小，在衡量功率放大时经常出现10000、100000等大数、在衡量功率衰减时经常出现0.01、0.001等很小的数字，用起来不方便，于是在前面加了个对数lg，这个就是贝尔的定义公式。这样用起来就清爽很多了，比如：功率放大1000倍是3bel，功率衰减到0.001倍是-3bel。

再后来，人们发现这个单位用起来仍有一点不爽，比如，放大1000倍是3贝尔、放大5000倍是3.7贝尔，放大10000倍是4贝尔。虽然从1000倍到5000倍已经是挺大的变化尺度了，但是在贝尔值尺度上从3到3.7仅仅增加了0.7，有点轻描淡写的感觉。于是人们又定义了一个更细分的单位：分贝（dB），1个贝尔等于10个分贝，分贝值等于原来的贝尔值乘以10。这样一来，放大1000倍就是30dB，放大5000倍就是37dB，增加了7个分贝，于是人们主观上的感觉就好受多了（汗……）。分贝的定义式为：

需要注意的是，以上仅仅是关于“功率增益”的分贝表达式，关于电压增益的分贝表达式是不同的，还要看下文。

（2）电压增益

渐渐地，人们发现很多应用情况下并不一定需要放大功率，只要放大电压信号或电流信号就可以了，于是需要一个用来表达电压增益的对数单位。由于分贝这个单位已经广为使用，那么利用功率和电压的换算关系，可以直接利用原来的分贝单位而不用发明新的单位，看下图：

图10-1.06

当电压从V₁增大到V₂时，在负载R_L不变的情况下，功率从P1增大到P2，那么功率和电压的关系式应为：

将其代入前面分贝的表达式：

因此，用分贝来表示“电压”的增益时，前面的系数就变为了20。再后来，当人们渐渐用习惯了这个表示电压增益的分贝单位后，连“增益前后电路的R_L相等”这个条件都不看了，只是纯粹地使用上面这个公式来表示电压增益，比如在下图中，

图10-1.07

电压信号V₁经过放大电路被放大成V₂，虽然从V₁处端看入的输入电阻Ri与V₂的负载电阻R_L完全不同，但人们仍然使用上面的分贝电压增益表达式来表示电压增益。

同理，分贝表示的电流增益的也是如此，其表达式为：

逐渐地，在电子电路系统中，人们更多地使用分贝来表示电压或电流的增益，反而不怎么用来表示功率增益了。

再后来，由于分贝这个单位是如此好用，人们就开始滥用了，将所有的比值（增益或衰减）全都不分青红皂白地分贝单位来表示。比如，对于“频率”这种完全与功率无关的物理量，如果一个电路经过某种改善设计，其带宽频率从1kHz增加到10kHz，人们也会说，其带宽增加了20dB（意思就是带宽增加了10倍），诸如此类……

下表是几个常见的分贝数值和增益倍数的对应关系：