02-凸函数
1 基本性质和例子
[凸函数] 一个函数 (f: R^nrightarrow R) 是凸的，如果定义域 (dom,f) 是凸集，并且对于所有 (x,yin f, thetaleq 1) ，我们有 (f(theta x+(1-theta)y)leq theta f(x)+(1-theta)f(y).)
注：如果不能理解，从二维角度去理解
几何解释：点 ((x,f(x))) 和 ((y,f(y))) 之间的线段在 (f) 对应的图像上方。
- 函数 (f) 是严格凸的，如果以上不等式在 (xne y) ，且 (0<theta <1) 时也成立.
- 函数 (f) 是凹的，当 (-f) 是凸的，严格凹，当 (-f) 是严格凸的。
- 仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹又凸的函数是仿射的。
- 一个函数是凸的当且仅当对任意 (xin dom,f) 和任意 (v) ，函数 (g(t)=f(x+tv)) 是凸的， ({t|x+tvin dom,f}.)注：其实只是修改了自变量的表示，又由于自变量的集合是凸集，线性表示后仍然是凸集
[扩展值] 将凸函数扩展到整个 (R^n) ，通常令它在定义域之外取 (infty) 。如果 (f) 是凸函数那么它的拓展为 (widetilde{f} : R^nrightarrow R cup {infty}) ,
(widetilde{f}(x)=left {begin{aligned} f(x);; xin domf\ infty;; xnotin domf end{aligned}right.)
[一阶条件] 令函数 (f) 是可微的（也就是它的梯度 (nabla f) 在开集 (domf) 的每个点上都存在）。那么 (f) 是凸的，当且仅当 (domf) 是凸的，并且对所有的 (x,yin domf) 有：
(f(y)geq f(x)+nabla f(x)^T(y-x).)
注：其实同样可以从二维角度的考虑，无非就是 (dy)，也就是函数图像永远在某一点的切上上，同时 (f(x)+nabla f(x)^T(y-x)) 相当于 (f) 在 (x) 的一阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是无穷阶的，只不过此处做了省略
在每个点上，函数图像都高于在该点的切线。
解释：(y) 的仿射函数 (f(x)+nabla f(x)^T(y-x)) 是 (f) 在靠近 (x) 处的一阶泰勒近似。上述不等式表达了这个一阶泰勒近似是函数的全局下限（global underestimator），反过来，如果函数的一阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
- 如果 (nabla f(x)=0) ,那么对于所有 (yin domf) ，有 (f(y)geq f(x)) ， 也就是在 (x) 处 (f) 取到全局最小值（ (x) is a global minimizer of (f) ）。
- (f) 是严格凸的，当且仅当 (domf) 是凸的，且对于所有 (x,yin domf, xne y) 有 (f(y)>f(x)+nabla f(x)^T(y-x).)
- (f) 是凹的，当且仅当 (domf) 是凸的，并且 (f(y)leq f(x)+nabla f(x)^T(y-x),)(forall x,yin domf.)
[二阶条件] 设函数 (f) 是二阶可微的，也就是它在开集 (domf) 的每个点上都存在二阶导数 (nabla^2 f) 。那么 (f) 是凸的，当且仅当它的二阶导数是半正定的：
注：同样在二维角度理解，二阶导大于 0，则一阶导单调递增，则在一阶导为 0 的左边是小于 0 的，右边大于 0 的，也就是说原函数在一阶导为 0 的左边是单调递减的，在右边是单调递增的，凸
(forall xin domf) , (nabla^2f(x)succeq 0) .
几何解释：函数图像在每个定义域的每个点上都有正的曲率(curvature)。
- 函数 (f) 是凹的，当且仅当 (domf) 是凸的，并且 (nabla^2f(x)preceq 0) , (forall xin domf)
- 如果 (forall xin domf) , (nabla^2f(x)succ 0) ，那么 (f) 是严格凸的。反过来不成立，例如 (f(x)=x^4) 是严格凸的，但是在 (x=0) 处二阶导数为 (0) .
[例]
注：以下判断，简单的函数可以画图确定，复杂的可以通过求二阶导确定
在 (R) 上：
- (e^{ax} , forall ain R) , 在 (R) 上凸。
- (x^a,) 当 (ageq 1) 或 (aleq 0) ，在 (R_{++}) 上凸，当 (0leq aleq 1) 时凹。
- (|x|^p) , (pgeq 1) ，在R上凸。
- (log;x) ，在 (R_{++}) 上凸 。
- 负熵 (x log ; x) ，在 (R_+) 和 (R_{++}) 上凸。
在 (R^n) 上：
- 范数，凸
- 最大值函数，凸
- Quadratic-over-linear 函数： (f(x,y)=x^2/y) , (domf=Rtimes R_{++}={(x,y)in R^n| y>0}) ，凸。
- (f(x)=log(e^{x_1}+...+e^{x_n})) ，凸
- 几何平均 (f(x)=(prod^n_{i=1}x_i)^{1/n}) ，在 (R^n_{++}) 上凹。
- (f(X)=log; detX) ，在 (S^n_{++}) 上凹。
[下水平集 sublevel set] 函数 (f:R^nrightarrow R) 的一个 (alpha) -下水平集是
注：下水平集其实就是对函数做了一个水平切割，或者说对定义域做了切割
(C_{alpha}={xin domf | f(x)leq alpha}) .
- 凸函数的下水平集是凸集，对于所有的 (alpha) 。反过来不对，例如 (f(x)=-e^x) 在 (R) 上不是凸的，但是它的所有下水平集都是凸集。
- 凹函数的下水平集是凸集。
[上境图 epigraph] 一个函数 (f:R^nrightarrow R) 的图像是 ({(x,f(x))|xin dom f}) . 它是 (R^{n+1}) 的子集。定义函数 (f) 的
上境图: (epi; f = {(x,t)| xin dom f , f(x)leq t}) .
下境图： (hypo;f = {(x,t)| tleq f(x)}) .
注：上、下境图，其实就是对函数做了一个水平切割。有可能说凸函数的下境图是一个凸集，但是这种说法没有意义，因为上、下境图的水平切割是没有固定值的
- 函数是凸的当且仅当它的上境图是一个凸集。
- 函数是凹的当且仅当它的下境图是一个凸集。
[Jensen不等式] 基本不等式 (f(theta x+(1-theta)y)leq theta f(x)+(1-theta)f(y)) 有时被叫做Jensen不等式。
注：Jensen 不等式其实就是凸函数的定义
- 它可以拓展到多个点的凸组合：
如果 (f) 是凸的， (x_1,...,x_kin domf, theta_1,...,theta_k geq 0) , (theta_1+...+theta_k=1) 那么
(f(theta_1x_1+...+theta_kx_k)leq theta_1 f(x_1)+...+theta_k f(x_k)) .
- 还可以拓展到无限，积分和期望：
积分：如果 (p(x)geq 0) 在 (Ssubseteq domf) 上， (int_{S} p(x) dx =1) ，那么 (f(int_{S} p(x) dx)leq int_S f(x) p(x) dx) .
期望：如果 (x) 是随机变量 (xin dom f) ，且 (f) 是凸函数，那么有 (f(Ex)leq E f(x)) .
2 保留凸性的运算
注：以下保凸运算其实可以使用定义，也就是用 Jensen 不等式证明，注意保留的是凸函数的性质，而不是保留了凸集的性质，不要和凸集的概念搞混了
[非负加权和] 如果 (f_1,...,f_m) 是凸函数，他们的集合是一个凸锥——凸函数的非负加权和 (f=w_1f_1+...+w_mf_m， (w_1,...,w_mgeq 0)) 是凸的。
注：非负加权和其实可以看做是多个做非负伸缩的凸函数进行了加和
- 还可以拓展到积分：如果 (f(x,y)) 对于x是凸的，对于每个 (yin A) ，且w(y)geq 0, (forall yin A) ，那么函数 (g(x)=int_A w(y)f(x,y)dy) 对于 (x) 是凸的。
[与仿射函数的复合] 令 (f:R^nrightarrow R) , (Ain R^{ntimes m}) , (bin R) 。定义 (g:R^mrightarrow R) 为
(g(x)=f(Ax+b)) , (domg={a| Ax+bin domf}) .
那么如果 (f) 是凸函数， (g) 也是凸函数。
[逐点最大 pointwise maximum] 如果 (f_1,f_2) 是凸函数，那么他们的逐点最大 (f) ，定义为
(f(x)=max{f_1(x),f_2(x)}) , 定义域 (domf=domf_1cap domf_2)
也是凸集。可以拓展到多个凸函数的逐点最大。
[逐点上确界 pointwise supremum] 如果对于每个 (yin A) , (f(x,y)) 关于 (x) 是凸的，那么函数
(g(x)=underset {yin A}{sup} ,f(x,y))
关于 (x) 是凸的。 (g) 的定义域是
(dom g={x|(x,y)in dom f, forall yin A, underset{yin A}{sup}f(x,y)<infty}) .
- 类似地，一组凹函数的逐点下确界是凹函数。
- (epi, g =bigcap _ {yin A}epi , f(cdot,y)) .
[最小化] 如果 (f) 关于 ((x,y)) 是凸函数，并且 (C) 是非空凸集，那么函数
(g(x)=underset{gin C}{inf}, f(x,y))
是关于 (x) 的凸函数，对于所有的 (x) 有 (g(x)>-infty) 的定义域是 (domf) 到 (x) 轴的投影：
(dom g={x| (x,y)in domf, for ,some,yin C}) .
[函数的透视] 函数 (f: R^nrightarrow R) ， (f) 的透视函数为
(g:R^{n+1}rightarrow R) ， (g(x,t)=tf(x/t)) ，
(domg={(x,t)| x/tin dom f, t>0})
透视运算保存凸性：如果函数 (f) 是凸的，那么它的透视函数 (g) 也是凸的；如果 (f) 是凹的，那么 (g) 也是凹的。
3 共轭函数
[函数的共轭 conjugate] 令 (f:R^nrightarrow R) 函数 (f^* : R^nrightarrow R) 定义为
(f^*(y)=underset{xin domf}{sup} (y^Tx-f(x))) , 叫做函数 (f) 的共轭。
注：共轭函数的本质，其实就是通过一阶导，对求 (x) 的最小值问题转化为了求解截距最大值问题，如果我们把共轭函数写成这样 (g(x_0) = -x_0 frac{partial f}{ partial x} (x_0) + f(x_0),x_0in domf)，这样看是不是亲切很多，其实就是切线截距公式，而前面的 (underset{{xin domf}}{sup}) 就是求最大值咯
共轭函数的定义域 由使得上述上确界有限的 (y, yin R^n) 组成。也就是说在 (domf) 上差 (y^Tx-f(x)) 是有界的。如图：
- 共轭函数 (f^*) 是凸的，因为它是关于 (y) 的凸函数的逐点上确界，这一点为真不论 (f) 是否是凸的。
[Fenchel不等式] 由共轭函数的定义，我们有
(f(x)+f^*(y)geq x^T y) , (forall x,y) ，叫做Fenchel不等式。
例如对于 (f(x)=(1/2)x^TQx) , (Qin S^n_{++}) 有 (x^Tyleq (1/2)x^TQx+(1/2)y^TQ^{-1}y.)
[共轭的共轭] 如果函数 (f) 是凸且闭的，那么 (f^{**}=f) .
[可微函数] 可微函数 (f) 的共轭，也叫做 (f) 的 Legendre变换。令 (f) 是凸且可微的， (domf=R^n) ，任意使 (y^Tx-f(x)) 取最大值的 (x^*) 都满足 (y=nabla f(x^*)) 。
反过来如果 (x^{*}) 满足 (y=nabla f(x^*)) ，那么 (x^{*}) 使得 (y^Tx-f(x)) 最大化。因此如果 (y=nabla f(x^*)) 我们有：
(f^*(y)=x^{*T} nabla f(x^*)-f(x^*).) 注：这里就讲到了 (y^T) 其实就是一阶导
这允许我们能为任何 (y) 通过得到 (f^*(y)) 来解出梯度方程 (y=nabla f(z)) 。
- 另一种表示，令 (zin R^n) 是任意的，定义 (y=nabla f(z)) , 那么有 (f^*(y)=z^Tnabla f(z)-f(z)) .
注：下面就是共轭函数的一些特殊性质咯
[伸缩变换，与仿射变换的复合] 对于 (a>0,bin R) ，函数 (g(x)=af(x)+b) 的共轭是
(g^*(y)=af^*(A^{-1}y)-b^TA^{-T}y) . 定义域 (domg^*=A^Tdomf^*.)
[独立函数的和] 如果 (f(u,v)=f_1(u)+f_2(v)) ， (f_1,f_2) 都是凸函数，且有共轭 (f_1^*,f_2^*，) 那么 (f^*(w,z)=f_1^*(w)+f_2^*(z).)
也就是，独立凸函数的和的共轭，是函数的共轭的和。
4 拟凸函数
[拟凸 Quasiconvex] 函数 (f: R^nrightarrow R) 是拟凸的，如果它的定义域和所有下水平集 (S_{alpha}={xin domf | f(x)leq alpha}) , (alpha in R) 都是凸的。
注：这里需要注意的是下水平集是凸集，而不是凸函数，其实就是利用了下境图的概念去理解，就很好理解，就是一个函数可能不是凸，但是它的最小值在凸的那一部分，那我做个水平切割只要凸的那一部分就好了
- 一个函数是拟凹（quasiconcave）的，如果 (-f) 是拟凸的，也就是每个上水平集 ({x| f(x)geq alpha}) 是凸的。
- 如果一个函数既拟凸又拟凹，那么叫做拟线性（quasilinear）。如果一个函数是拟线性的那么它的定义域和每个下水平集 ({x| f(x)=alpha}) 都是凸的.
[基本性质---不等式] 凸和拟凸有很多对应的性质，例如Jesen不等式的拟凸版本：一个函数 (f) 是拟凸的，当且仅当 (domf) 是凸的，且对任意 (x) ， (0leq thetaleq 1) 有
(f(theta x+(1-theta)y)leq max{f(x),f(y)}.)
注：拟凸函数的 Jensen 不等式就是说明了函数被函数两端的最大值控制着
也就是定义域某一段上的函数值，不超过这段两端的函数值的最大值，如图：
[ (R) 上的拟凸函数] 考虑连续函数 (f:Rin R) 是拟凸的，当且仅当满足以下至少一个条件：
- (f) 是非减的
- (f) 是非增的
- 存在一个点 (cin domf) 使得对于 (tleq c (tin domf)) ， (f) 是非增的，且当 (tgeq c (tin domf)) ， (f) 是非减的。
(c) 是一个全局最小点：
[可微拟凸函数---一阶条件] 令 (f: R^nrightarrow R) 是可微的，那么 (f) 是拟凸的当且仅当 (domf) 是凸的，并且 (forall x,yin domf) 有
(f(y)leq f(x) Rightarrow nabla f(x)^T(y-x)leq 0.)
注：这个一阶条件就是规定了 (y-x) 和 (nabla f(x)) 的夹角为钝角，从下图可以看出，也就是说 (y) 的等高线一定在 (x) 的等高线之内，也就是说明了 (f(y) leq f(x))
[可微拟凸函数---二阶条件] 令 (f) 是二次可微的，如果 (f) 是拟凸的，那么 (forall xin domf, yin R^n) 有
(y^Tnabla f(x)=0Rightarrow y^Tnabla^2 f(x)ygeq 0.)
- 对于 (R) 上的拟凸函数 (f) ，条件简化为 (f'(x)=0Rightarrow f''(x)geq 0.) 注：也就是说在斜率为 (0) 的坡的任意点上，二阶导数都是非负的。
[保留拟凸性的运算]
- 非负加权最大值： $f=max{w_1f_1,...,w_mf_m} ，w_igeq 0, $$f_i$ 是拟凸函数。这个性质可以推广到逐点上确界。
- 复合：如果 (g:R^nrightarrow R) 是拟凸函数， (h:Rrightarrow R) 是非减的，那么 (f=hcirc g) 是拟凸的。拟凸函数和仿射函数或线性-分数函数的复合也是一个拟凸函数。
- 最小化： (f(x,y)) 是拟凸函数， (C) 是一个凸集，那么函数 (g(x)=underset{yin C }{inf}f(x,y)) 是拟凸的。
[用一族凸函数表示] 用凸函数的不等式来表示拟凸函数 (f) 的下水平集。找一族凸函数 (phi_t:R^nrightarrow R , tin R) 满足 (f(x)leq tLeftrightarrow phi_t(x)leq 0.)
也就是，拟凸函数 (f) 的 (t)-下水平集是凸函数 (phi_t) 的 (0)-下水平集。
5 对数凹/对数凸函数
注：个人理解，因为对数凸不能证明什么，对数凸只是在某些情况让一个函数更易于进行优化，例如拟凸函数 (f=e^{x^2})，对数之后就是凸函数 (log f = -x^2)，让一个拟凸函数变成凸函数，性质更好
[对数凹/凸 log-concave/log-convex] 函数 (f:R^nrightarrow R) 是对数凹的，如果 (f(x)>0, forall xin domf) 是凹的。
(f) 是对数凸的当且仅当 (1/f) 是对数凹的。
允许 (f) 取 (0) ， (log,f(x)=-infty) ，此时 (f) 是对数凹的，如果拓展值函数 (log,f) 是凹的。
[用不等式表示] 函数 (f:R^nrightarrow R) 带有凸定义域，并且 (f(x)>0,forall xin domf) 有：
(log(f(theta x+(1-theta)y))geq log(f(x)^{theta}f(y)^{1-theta})=f(theta x+(1-theta)y)geq logf(x)^{theta}f(y)^{1-theta}.)
注：从变异的 Jensen 不等式可以看出，其实对数凸就是对 Jensen 不等式做了对数变化
- 特别地，对数凹函数在两点的中点上的值，大于等于两点上函数值的几何平均数。
[二次可微的对数凹/对数凸函数] 令 (f) 是二次可微的， (domf) 是凸集，那么有
(nabla^2 log f(x)=frac{1}{f(x)}nabla^2 f(x)-frac{1}{f(x)^2}nabla f(x)nabla f(x)^T.)
- (f) 是对数凸的，当且仅当 (forall xin domf) 有：
(f(x)nabla^2 f(x)succeq nabla f(x)nabla f(x)^T.)
- (f) 是对数凹的，当且仅当 (forall xin domf) 有：
(f(x)nabla^2 f(x)preceq nabla f(x)nabla f(x)^T.)
[加法，乘法，积分] 对数凸性和对数凹性对于加法和正标量乘法封闭。
- 如果 (f(x,y)) 对于所有的 (yin C) 关于 (x) 对数凸, 那么 (g(x)=int_C f(x,y) dy) 是对数凸的
[对数凹函数的积分] 在某些特殊情况中积分保留对数凹性。如果 (f:R^ntimes R^mrightarrow R) 是对数凹的，那么 (g(x)= int f(x,y)dy) 是关于 (x) 的对数凹函数。
- 这说明对数凹性在卷积下封闭，也就是如果 (f,g) 是 (R^n) 上的对数凹函数，那么卷积 ((f*g)(x)=int f(x-y)g(y)dy) 也是对数凹函数。
6 关于广义不等关系的凸性
注：广义不等式的凸性，其实就是把 Jensen 不等式扩展到锥上定义了
单调性和凸性的推广。
[单调性] 令 (Ksubseteq R^n) 是一个正常锥(proper cone) ，有对应的广义不等关系 (preceq_K) 。
- 一个函数 (f:R^nrightarrow R) 叫做(K) -非减的，如果
(xpreceq_K yRightarrow f(x)leq f(y).)
- (f) 是(K) -增的，如果
(xprec_K y, xne yRightarrow f(x)<f(y).)
类似可以定义 (K) -非增函数，和 (K) -减函数。
[单调性的梯度条件] 一个定义域是凸集的可微函数 (f) ，是 (K) -非增的，当且仅当对于所有的 (xin domf) 有 (nabla f(x)succeq_{K^*} 0) .
更严格的情况，如果 (nabla f(x)succ_{K^*} 0) 对于所有 (xin domf) 成立，那么说 (f) 是 (K) -增的。
[凸性] 令 (Ksubseteq R^m) 是一个正常锥，有对应的广义不等关系 (preceq_K) 。
- 函数 f: (R^nrightarrow R^m) 是 (K) -凸的，当且仅当对于所有 (x,y, 0leq theta leq 1) 有
(f(theta x+(1-theta) y)preceq_K theta f(x)+(1-theta)f(y).)
- 函数 (f) 是严格 (K) -凸的，如果对于所有 (xne y, 0< theta< 1) 有
(f(theta x+(1-theta) y)prec_K theta f(x)+(1-theta)f(y).)
[ (K) -凸的对偶刻画] 一个函数 (f) 是 (K) -凸的当且仅当对于每个 (wsucceq_{K^*} 0) ，实值函数 (w^Tf) 是凸的。 (f) 是严格 (K) -凸的当且仅当对于每个非零 (wsucceq_{K^*} 0) 函数 (w^Tf) 是严格凸的。
[可微 (K) -凸函数] 一个可微函数 (f) 是 (K) -凸的当且仅当它的定义域是凸集，并且对于所有的 (x,yin domf) 有
(f(y)succeq_K f(x)+Df(x)(y-x).)
此处 (Df(x)in R^{mtimes n}) 是函数 (f) 关于 (x) 的导数或 Jacobian 矩阵。
函数 (f) 是严格 (K) -凸的，当且仅当对于所有 (x,yin domf ,xne y) 有
(f(y)succ_K f(x)+Df(x)(y-x).)
[复合定理 composition theorem] 凸函数的非减凸函数是凸的。如果 (g:R^nrightarrow R^p) 是 (K) -凸的， (h: R^prightarrow R) 是凸的，且 (h) 的值拓展 (widetilde{h}) 是 (K) -非减的，那么 (hcirc g) 是凸的。
参考文献：Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization
文章来源: 博客园
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