前缀表达式、中缀表达式和后缀表达式

前缀、中缀、后缀表达式

前缀、中缀、后缀表达式是对表达式的不同记法，其区别在于运算符相对于操作数的位置不同，前缀表达式的运算符位于操作数之前，中缀和后缀同理

举例：
中缀表达式：1 + (2 + 3) × 4 - 5
前缀表达式：- + 1 × + 2 3 4 5
后缀表达式：1 2 3 + 4 × + 5 -

中缀表达式

中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式

前缀表达式的运算符位于两个相应操作数之前，前缀表达式又被称为前缀记法或波兰式

前缀表达式的计算机求值

1. 从右至左扫描表达式
2. 遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈
3. 重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果

示例：
计算前缀表达式的值：- + 1 × + 2 3 4 5

1. 从右至左扫描，将5，4，3，2压入堆栈；
   2）遇到+运算符，弹出2和3（2为栈顶元素，3为次顶元素），计算2+3的值，得到5，将5压入栈；
   3）遇到×运算符，弹出5和4，计算5×4的值，得到20，将20压入栈；
   4）遇到1，将1压入栈；
   5）遇到+运算符，弹出1和20，计算1+20的值，得到21，将21压入栈；
   6）遇到-运算符，弹出21和5，计算21-5的值，得到16为最终结果

可以看到，用计算机计算前缀表达式是非常容易的，不像计算后缀表达式需要使用正则匹配

后缀表达式

后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于两个相应操作数之后，后缀表达式也被称为后缀记法或逆波兰式

后缀表达式的计算机求值

与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：

1. 从左至右扫描表达式
2. 遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素op 栈顶元素 ），并将结果入栈
3. 重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果

示例：
计算
计算后缀表达式的值：1 2 3 + 4 × + 5 -

1）从左至右扫描，将1，2，3压入栈；
2）遇到+运算符，3和2弹出，计算2+3的值，得到5，将5压入栈；
3）遇到4，将4压入栈
4）遇到×运算符，弹出4和5，计算5×4的值，得到20，将20压入栈；
5）遇到+运算符，弹出20和1，计算1+20的值，得到21，将21压入栈；
6）遇到5，将5压入栈；
7）遇到-运算符，弹出5和21，计算21-5的值，得到16为最终结果

中缀表达式转化为前缀和后缀表达式

转化步骤：

1. 按照运算符的优先级对所有的运算单位加括号
2. 将运算符移动到对应括号的前面（前缀表达式）或后面（后缀表达式）
3. 去掉括号，得到前缀或后缀表达式

示例：

中缀表达式：1+(2+3)×4-5

1）加括号
式子变成 ((1+((2+3)×4))-5)

2）移动运算符

对于前缀表达式，变成了 -(+(1×(+(23)4))5)

对于后缀表达式：变成了((1((23)+4)×)+5)-

3）去掉括号
前缀表达式： - + 1 × + 2 3 4 5
后缀表达式：1 2 3 + 4 × + 5 -

小结

• 前缀、中缀、后缀是根据运算符与操作数的相对位置来划分的
• 中缀表达式符合人的计算习惯，而前缀和后缀表达式适合计算机计算
• 前缀表达式和后缀表达式计算的时候都是从一个方向扫描表达式，遇到数字压入栈，遇到运算符弹出栈顶的两个数进行运算并将结果入栈，重复知道结束
• 前缀和后缀表达式已经内在地包含运算顺序，因此不用括号来确定优先级

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