中介因果效应分解 汇总与理解
1. 前言
在学习因果推断相关文章时[4,5]，对总体因果效应如何分解为直接效应和间接效应产生了一些困惑，查阅相关资料[1,2,3]后，将因果效应分解的相关概念汇总形成此文，希望帮助有需要的同学理清概念，加深理解。
关于因果推断更基础的知识请参考相关书籍[6,7]。
2. 问题描述
中介效应，是指在因果模型中，Treatment X 对Outcome Y的因果效应可能有一部分是通过中介变量M（Mediation）传递过去的。例如：
- 抽烟（X），患肺癌（Y），血脂水平（M）
- 国家（X），新冠死亡率（Y），新冠患者年龄分布（M）[8]，参见【因果推断论文】中国新冠死亡率更高？- 新冠死亡率的辛普森悖论
- 物品的曝光特征（如文章标题、视频封面）（X），用户对物品的兴趣（X），用户的点击行为（Y）[4]
- 服用药物（X），病情缓解（Y），阿司匹林服用量（M）[1]，参见【因果推断经典论文】Direct and Indirect Effects - Judea Pearl
- 服用药物有一个副作用——头痛，这会导致患者服用阿司匹林的剂量增加。而阿司匹林的服用剂量增加有利于药物效果的发挥。
在这种因果模型中，我们感兴趣的问题是，X对Y的因果效应中，有多大比例是通过M传递过去的？
- 中介效应分析对于政策制定[1]、理解数据[8]都有重要作用。
- 例如
- 药物（X）对病情（Y）的影响有多少是通过阿司匹林剂量（M）造成的？药物（X）通过直接路径有多大效果？如果副作用被消除，药物的效果会受到多大影响？[1]
- 不同国家（X）之间新冠死亡率的差异（Y）有多少是由于患者年龄分布（M）造成的？[8]
3. 符号定义
当(X=x，M=m)时，Y的取值记为(Y_{xm})。
当(X=x)时，M的取值记为(M_x)。
简单起见，假设X是二元变量，例如：
- 当(X=1,M)取(X=1)时M的值时，Y的取值记为(Y_{1M_1})。
- 当(X=1,M)取(X=0)时M的值时，Y的取值记为(Y_{1M_0})。
在很多论文中，也将X=1记为X=x，将X=0记为(X=x^star)，对应的，(M_1)记为m，(M_0)记为(m^star)，则(Y_{1M_1})记为(Y_{xm})，(Y_{1M_0})记为(Y_{xm^star})。
4. 总体效应、直接效应与间接效应
以下以第二部分叙述过的药物和阿司匹林的例子[1]来说明各个效应的含义。
总体效应（Total Effect, TE）：
- 服用药物对病情缓解整体上有多大作用？
控制直接效应（Controlled Direct Effect, CDE）：
- 如果在服用药物时，嘱咐患者将阿司匹林用量调整到m，则药物会有多大作用？
- 注意这里的m是人为定义的，既不是服药前的自然用量，也不是服药后的自然用量，相当于(do(M=m))
- 由于控制变量——阿司匹林用量是被人为控制的，不是自然的，且衡量的是直接路径的影响（控制了中介变量为m），因此称为“控制直接效应”。
自然直接效应（Natural Direct Effect, NDE or Pure Direct Effect, PDE）:
- 如果病人在服用药物的同时，保持阿司匹林服用量不变（不因为药物副作用而改变阿司匹林用量），则药物会有多大效果？
- 保持阿司匹林的服用量和服药之前一致，这个用量对于不同患者来说是不同的——患者由于基础疾病和身体情况不同，有各自不同的用药习惯。
- 由于控制变量——阿司匹林用量是“自然”的，且衡量的是直接路径的影响（控制了中介变量为(M_0)），因此称为“自然直接效应”。
自然间接效应（Natural Indirect Effect, NIE or Pure Indirect Effect, PIE）：
- 如果病人不服药，但是将阿司匹林用量调整到服药后的量，病情会有多大程度的缓解？
- 只调整阿司匹林的量，估计通过间接路径产生的因果效应。
- 由于控制变量——不服药是“自然”的，且衡量的是间接路径的影响（控制了服药量为0），因此称为“自然间接效应”
总体直接效应（Total Direct Effect, TDE）
- 服药且改变阿司匹林用量，与只改变阿司匹林用量相比，治疗效果有多大提升？
- 控制阿司匹林用量都是服药后的量，比较服药和不服药的区别。
- 控制变量——阿司匹林用量是服药后的自然服用量（包含了服药的影响），且衡量的是直接路径的影响（控制了中介变量为(M_1)），因此称为“总体直接效应”。
总体间接效应（Total Indirect Effect, TIE）
- 在服药的条件下，因为副作用而增加阿司匹林用量对治疗效果有影响吗？
- 控制变量——服药量为1（不是自然情况，自然情况应该是0），衡量的是间接路径的影响，称为“总体间接效应”。
5. 总体效应的分解
总体效应TE可以被分解为直接效应和间接效应[1,2]，或分解为直接效应、间接效应和交互效应[3]。[9]
分析(left[ underbrace{left(mathbb{E}left[Y_{1M_1}right]-mathbb{E}left[Y_{1M_0}right]right)}_{T I E} - underbrace{left(mathbb{E}left[Y_{0M_1}right]-mathbb{E}left[Y_{0M_0}right]right)}_{P I E/ N I E} right])这一项：
- 如果(M_1) = (M_0)，则此项为0，且总体间接效应和自然间接效应都为0——中介变量不带变的，就没有间接效应了。
- 如果(M_1=1, M_0 = 0)，则
- 如果(M_1=0, M_0 = 1)，则
因此，(7)式可进一步推导为：
至此，我们得到了非线性模型总体效应的分解方法：
- 分解为直接效应和间接效应[1]，有总体直接效应+自然间接效应和自然直接效应+总体间接效应两种。
- 分解为直接效应、间接效应和交互效应[3]，则是自然直接效应+自然间接效应+交互效应。
如果是线性模型，则交互效应为0，(NDE=TDE, NIE=TIE)。[1,2,3]
参考文献
[1] J. Pearl, “Direct and indirect effects,” in Proc. 17th Conf. Uncertainty Artif. Intell., 2001, pp. 411–420
[2] Robins J M, Greenland S. Identifiability and exchangeability for direct and indirect effects[J]. Epidemiology, 1992: 143-155.
[3] VanderWeele T J. A three-way decomposition of a total effect into direct, indirect, and interactive effects[J]. Epidemiology (Cambridge, Mass.), 2013, 24(2): 224.
[4] Wang W, Feng F, He X, et al. Clicks can be cheating: Counterfactual recommendation for mitigating clickbait issue[C]//Proceedings of the 44th International ACM SIGIR Conference on Research and Development in Information Retrieval. 2021: 1288-1297.
[5] Wei T, Feng F, Chen J, et al. Model-agnostic counterfactual reasoning for eliminating popularity bias in recommender system[C]//Proceedings of the 27th ACM SIGKDD Conference on Knowledge Discovery & Data Mining. 2021: 1791-1800.
[6] Pearl J, Glymour M, Jewell N P. Causal inference in statistics: A primer[M]. John Wiley & Sons, 2016.
[7] Imbens G W, Rubin D B. Causal inference in statistics, social, and biomedical sciences[M]. Cambridge University Press, 2015.
[8] von Kügelgen J, Gresele L, Schölkopf B. Simpson's paradox in Covid-19 case fatality rates: a mediation analysis of age-related causal effects[J]. IEEE Transactions on Artificial Intelligence, 2021, 2(1): 18-27.
[9] Direct and Indirect Effects 馒头and花卷 博客园 https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/14615052.html
文章来源: 博客园
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