进位计数制及其转换

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作者:落幕LM

数据与信息

数据是对客观事物的符号表示。
信息是各种事物变化和特征的反映，是事物之间相互作用的表征。
数据处理之后产生的结果为信息。

计算机中的数据与数据单位

计算机内部使用二进制表示各种信息。
计算机中数据的最小单位是位，存储容量的基本单位是字节。
8个二进制位称为1个字节，此外还有KB，MB，GB，TB。
位（bit）：位是度量数据的最小单位。
字节（Byte）：一个字节是由8位二进制数字组成（1Byte = 8bit）。
　　千字节 1KB = 1024B = 2¹⁰B
　　兆字节 1MB = 1024KB = 2²⁰B
　　吉字节 1GB = 1024MB = 2³⁰B
　　太字节 1TB = 1024GB = 2⁴⁰B
字长：计算机一次能够并行处理的二进制位称为该机器的字长。

进位计数制

多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制（简称数制）。
如果采用R个基本符号（例如0，1，2，…，R-1）表示数值，则称R进制，R称为该数制的基数（Radix），而数制中固定的基本符号为“数码”。任意一个R进制数D均可展开为：
　　

[其中 R 为计数的基数；k~i~ 为第i位的系数，可以为 0,1,2,...R-1 中的任何一个，R^i^ 称为第 i 位的权]

计算机中常用的几种进位计数制的表示

进位制	基数	基本符号	权	形式表示
二进制	2	0,1	2¹	B
八进制	8	0,1,2,3,4,5,6,7	8¹	O
十进制	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	10¹	D
十六进制	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F	16¹	H

不同进制数的对照表

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0000	00	0
1	0001	01	1
2	0010	02	2
3	0011	03	3
4	0100	04	4
5	0101	05	5
6	0110	06	6
7	0111	07	7
8	1000	08	8
9	1001	09	9
10	1010	10	A
11	1011	11	B
12	1100	12	C
13	1101	13	D
14	1110	14	E
15	1111	15	F

进制转换

R进制转换为十进制
将R进制按权展开求和即可得相应的十进制数

十六进制转十进制
（234）_H = （2×16²+3×16¹+4×16⁰）_D = （564）_D

八进制转十进制
（234）_O = （2×8²+3×8¹+4×8⁰）_D = （156）_D

二进制转十进制
（10110）_B = （1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰）_D = （22）_D

十进制转换位R进制
将一个十进制数转换成R进制分为两部分：整数部分和小数部分。
　　整数部分可以采用 “除R取余” 法，即将十进制整数部分连续地除以R取余数，直到商为0，余数从右到左排列，首次取得的余数排在最右边。
　　小数部分转换成R进制数采用 “乘R取整” 法，即将十进制小数不断乘以R取整数，直到小数部分为0或达到要求的精度为止（当小数部分永远不会达到0时）；所得的整数从小数点之后自左往右排列，取有效精度，首次取得的整数排在最左边。
示例：将十进制数 225.8125 转换成二进制数
　　　　　　　　　　　　

八进制转换为十六进制
八进制与十六进制的转换通过二进制作中间转换媒介。

八进制数	对应二进制数	十六进制数	对应二进制数
0	000	0	0000
1	001	1	0001
2	010	2	0010
3	011	3	0011
4	100	4	0100
5	101	5	0101
6	110	6	0110
7	111	7	0111
		8	1000
		9	1001
		A	1010
		B	1011
		C	1100
		D	1101
		E	1110
		F	1111