本文以应用为主，因此原理并不深究
步骤
Step1. 构造初始决策矩阵 (D = (d_{ij})_{m times n})
Step2. 按列（属性）对决策矩阵D归一化
[d_{ij} = frac{d_{ij}}{sumlimits_{k=1}^mx_{kj}}
]
记归一化后的矩阵为 (R = (r_{ij})_{m times n}).
Step3. 用信息熵法计算权重
[begin{aligned}
& E_j = -ksumlimits_{i=1}^mr_{ij}ln{r_{ij}}, quad k = frac{1}{ln m}\
& F_j = 1 - E_j\
& w_j = frac{F_j}{sumlimits_{j=1}^nF_j}
end{aligned}
]
Step4. 用Topsis法评价
Topsis 法是理解解的排序方法 (technique for order preference by similarity to ideal solution), 它借助于评价问题的正理想解和负理想解，对各评价对象进行排序。所谓正理想解是一个虚拟的最佳对象，其每个指标值都是对所有评价对象中的该指标的最好值；而负理想解是另一个虚拟的最差对象，其每个指标值都是所有评价对象中该指标的最差值。求出各评价对象与正理想解和负理想解的距离，并依次对各评价对象进行优劣排序。
- 赋权
[V = RW
]
其中 (W = diag(w_1,w_2,cdots,w_n)).
- 计算正理想解 (V^+) 和负理想解 (V^-).
[V^+ = (v_1^+,v_2^+,cdots,v_n^+) = (maxlimits_{1 leq i leq m}v_{i1},maxlimits_{1 leq i leq m}v_{i2},cdots,maxlimits_{1 leq i leq m}v_{in})\
V^- = (v_1^-,v_2^-,cdots,v_n^-) = (minlimits_{1 leq i leq m}v_{i1},minlimits_{1 leq i leq m}v_{i2},cdots,minlimits_{1 leq i leq m}v_{in})
]
- 计算正负理想距离
[S^+ = (s_1^+,s_2^+,cdots,s_m^+) = bigg(sqrt{sumlimits_{j=1}^n(v_{1j}-v_j^+)^2},sqrt{sumlimits_{j=1}^n(v_{2j}-v_j^+)^2},cdots,sqrt{sumlimits_{j=1}^n(v_{mj}-v_j^+)^2}bigg)
\
S^- = (s_1^-,s_2^-,cdots,s_m^-) = bigg(sqrt{sumlimits_{j=1}^n(v_{1j}-v_j^-)^2},sqrt{sumlimits_{j=1}^n(v_{2j}-v_j^-)^2},cdots,sqrt{sumlimits_{j=1}^n(v_{mj}-v_j^+)^2}bigg)
]
- 计算各评价方案与正理想解的相对接近度 (C^+)，即可得到评价得分.
[C^+ = (c_1^+,c_2^+,cdots,c_m^+)
]
其中 (c_i^+ = frac{s_j^-}{s_j^-+s_j^+}).
实例
评价五所研究生院教学质量，收集有关数据资料如下
| 人均专著 (x_1) /(本/人) | 生师比 (x_2) | 科研经费 (x_3) / (万元/年) | 逾期毕业率 (x_4) / % | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.1 | 5 | 5000 | 4.7 |
| 2 | 0.2 | 6 | 6000 | 5.6 |
| 3 | 0.4 | 7 | 7000 | 6.7 |
| 4 | 0.9 | 10 | 10000 | 2.3 |
| 5 | 1.2 | 2 | 400 | 1.8 |
基于信息熵法与 Topsis 法给出五所研究生院的评价
模型求解
Step1. 构造初始决策矩阵 (D = (d_{ij})_{m times n})
显然题意可以判断 (x_1,x_3) 位效益型属性，(x_2,x_4) 为消费型属性.
D <- matrix(c(0.1, 0.2, 0.4, 0.9, 1.2,
1/5, 1/6, 1/7, 1/10, 1/2,
5000, 6000, 7000, 10000, 400,
1/4.7, 1/5.6, 1/6.7, 1/2.3, 1/1.8), nrow = 5)
Step2. 按列（属性）对决策矩阵D归一化
col_sum <- apply(D, 2, sum) # 2代表列
ColSum <- matrix(c(col_sum, col_sum, col_sum, col_sum, col_sum ), nrow = 5, byrow = T) # 按行填入
R <- D/ColSum
R
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 0.03571429 0.18025751 0.17605634 0.13897831
## [2,] 0.07142857 0.15021459 0.21126761 0.11664251
## [3,] 0.14285714 0.12875536 0.24647887 0.09749224
## [4,] 0.32142857 0.09012876 0.35211268 0.28399915
## [5,] 0.42857143 0.45064378 0.01408451 0.36288780
Step3. 用信息熵法计算权重
Entropy <- function(x) -sum(x*log(x))/log(5)
E <- apply(R, 2, Entropy)
F <- 1 - E
w <- F/sum(F)
w
## [1] 0.3670204 0.2179919 0.2510037 0.1639840
Step4. 用Topsis法评价
- 赋权
W <- diag(w)
V <- R %*% W
- 计算正理想解 (V^+) 和负理想解 (V^-).
v_max <- apply(V, 2, max)
v_min <- apply(V, 2, min)
- 计算正负理想距离
V_MAX <- matrix(c(v_max, v_max, v_max, v_max, v_max), nr = 5, byrow = TRUE)
V_MIN <- matrix(c(v_min, v_min, v_min, v_min, v_min), nr = 5, byrow = TRUE)
fun <- function(x) sqrt(sum(x^2))
s_max <- apply(V-V_MAX, 1, fun)
s_min <- apply(V-V_MIN, 1, fun)
- 计算各评价方案与正理想解的相对接近度 (C^+)，即可得到评价得分.
C <- s_min/(s_max + s_min)
C
## [1] 0.2157095 0.2533230 0.3423939 0.6089369 0.6669153
因此五所研究院的得分为 (0.2157095, 0.2533230, 0.3423939, 0.6089369, 0.6669153).
故五所研究院的排名顺序 (5 > 4 > 3 > 2 > 1).
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文章来源: 博客园
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